ベクトル $\vec{a} = (-1, 2)$ に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

## 問題 8

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 2)$ に垂直な単位ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ に垂直なベクトルを求める。$\vec{a} = (x,y)$ に垂直なベクトルは $(-y, x)$ または $(y, -x)$ で表されるので、$\vec{a}$ に垂直なベクトルは $(−2, −1)$ または $(2, 1)$ となる。

(2) 求めた垂直なベクトルを単位ベクトルにする。

$(−2, −1)$ の大きさは $\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ なので、単位ベクトルは $(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$ となる。

$(2, 1)$ の大きさは $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ なので、単位ベクトルは $(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$ となる。

3. 最終的な答え

$\left( \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$, $\left( -\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}} \right)$

## 問題 9 (1)

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$ のとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $|\vec{a} - 2\vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 4 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

(2) 与えられた値を使って $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\sqrt{37})^2 = 37$

$|\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$

$|\vec{b}|^2 = 2^2 = 4$

したがって、

$37 = 9 - 4 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(4)$

$37 = 9 - 4 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16$

$37 = 25 - 4 (\vec{a} \cdot \vec{b})$

$12 = -4 (\vec{a} \cdot \vec{b})$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

## 問題 9 (2)

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 内積の定義を利用する。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

(2) 与えられた値と求めた内積を使って $\cos{\theta}$ を求める。

$-3 = 3 \cdot 2 \cdot \cos{\theta}$

$-3 = 6 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = -\frac{1}{2}$

(3) $\theta$ を求める。

$\cos{\theta} = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{2}{3}\pi$ (または $120^{\circ}$)

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{2}{3}\pi$