関数 $f(x) = -2x^3 - x^2 + 2x$ について、$x$ が $-1 \le x \le 2$ の範囲で変化するときの $f(x)$ の平均変化率を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^3 - x^2 + 2x$ について、$x$ が $-1 \le x \le 2$ の範囲で変化するときの $f(x)$ の平均変化率を求める。

2. 解き方の手順

平均変化率は、区間の端点における関数の値の差を区間の幅で割ったものです。

区間の端点は $x_1 = -1$ と $x_2 = 2$ です。

まず、$f(x)$ に $x_1 = -1$ を代入して、$f(-1)$ を計算します。

$f(-1) = -2(-1)^3 - (-1)^2 + 2(-1) = -2(-1) - 1 - 2 = 2 - 1 - 2 = -1$

次に、$f(x)$ に $x_2 = 2$ を代入して、$f(2)$ を計算します。

$f(2) = -2(2)^3 - (2)^2 + 2(2) = -2(8) - 4 + 4 = -16 - 4 + 4 = -16$

平均変化率は、以下の式で計算できます。

$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

$x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $f(-1) = -1$, $f(2) = -16$ を代入すると、

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{-16 - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{-16 + 1}{2 + 1} = \frac{-15}{3} = -5$

3. 最終的な答え

-5