$a, b$は実数とする。命題「$a+b$は無理数 $\Rightarrow$ $a, b$の少なくとも一方は無理数」の真偽を調べよ。

1. 問題の内容

$a, b$は実数とする。命題「$a+b$は無理数 $\Rightarrow$ $a, b$の少なくとも一方は無理数」の真偽を調べよ。

2. 解き方の手順

この命題の真偽を調べるために、対偶を考えます。

元の命題が真であることと、その対偶が真であることは同値です。

元の命題の対偶は、「$a, b$がともに有理数 $\Rightarrow$ $a+b$は有理数」となります。

$a, b$がともに有理数であると仮定します。

有理数の定義より、$a = \frac{p}{q}$, $b = \frac{r}{s}$（$p, r$は整数、$q, s$は0でない整数）と表すことができます。

すると、

$a + b = \frac{p}{q} + \frac{r}{s} = \frac{ps + qr}{qs}$

となります。

$ps + qr$は整数、$qs$は0でない整数なので、$a+b$は有理数です。

したがって、対偶は真です。

対偶が真なので、元の命題も真です。

3. 最終的な答え

真