$n$ を整数とする。命題「$n^2 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」を対偶を利用して証明する。

## (1) の問題

1. 問題の内容

$n$ を整数とする。命題「$n^2 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」を対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

対偶を考える。元の命題の対偶は「$n$ が偶数ならば、$n^2 + 2n + 1$ は奇数である」となる。

$n$ が偶数であるとき、$n = 2k$ ($k$ は整数) と表せる。

このとき、

$$n^2 + 2n + 1 = (2k)^2 + 2(2k) + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$$

$2k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2 + 2n + 1$ は奇数である。

したがって、対偶は真である。

対偶が真であるとき、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

「$n^2 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である」は真である。

## (2) の問題

1. 問題の内容

$m, n$ を整数とする。命題「$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数である」を対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

対偶を考える。元の命題の対偶は「$m, n$ がともに偶数ならば、$m^2 + n^2$ は偶数である」となる。

$m, n$ がともに偶数であるとき、$m = 2k, n = 2l$ ($k, l$ は整数) と表せる。

このとき、

$$m^2 + n^2 = (2k)^2 + (2l)^2 = 4k^2 + 4l^2 = 2(2k^2 + 2l^2)$$

$2k^2 + 2l^2$ は整数なので、$m^2 + n^2$ は偶数である。

したがって、対偶は真である。

対偶が真であるとき、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

「$m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数である」は真である。

## (3) の問題

1. 問題の内容

$x, y$ を実数とする。命題「$2x + 3y > 0$ ならば、$x > 0$ または $y > 0$ である」を対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

対偶を考える。元の命題の対偶は「$x \le 0$ かつ $y \le 0$ ならば、$2x + 3y \le 0$ である」となる。

$x \le 0$ かつ $y \le 0$ であるとき、

$2x \le 0$ かつ $3y \le 0$ である。

したがって、$2x + 3y \le 0$ である。

よって、対偶は真である。

対偶が真であるとき、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

「$2x + 3y > 0$ ならば、$x > 0$ または $y > 0$ である」は真である。