与えられた4つの問題について、それぞれの答えを求める。 (1) $\sqrt{24n}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求める。 (2) $\sqrt{180}$ を小数で表したときの整数部分の数を求める。 (3) $x = \frac{\sqrt{5}+1}{3}$ のとき、$9x^2 - 6x + 1$ の値を求める。 (4) $\sqrt{5}$ の小数部分を $a$ とするとき、$\frac{a-3}{a+2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの問題について、それぞれの答えを求める。

(1) $\sqrt{24n}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求める。

(2) $\sqrt{180}$ を小数で表したときの整数部分の数を求める。

(3) $x = \frac{\sqrt{5}+1}{3}$ のとき、$9x^2 - 6x + 1$ の値を求める。

(4) $\sqrt{5}$ の小数部分を $a$ とするとき、$\frac{a-3}{a+2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{24n} = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot n}$ より、$n$ は $2 \cdot 3 = 6$ の倍数であれば $\sqrt{24n}$ は自然数になる。したがって、最小の自然数 $n$ は 6。

(2) $\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ である。$\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、$12 < 6\sqrt{5} < 18$。正確な値を求めるために、$2.2^2 = 4.84$、$2.3^2 = 5.29$ であるから、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ である。すると、$6 \times 2.2 = 13.2$、$6 \times 2.3 = 13.8$。従って$\sqrt{180}$の整数部分は13。

(3) $x = \frac{\sqrt{5}+1}{3}$ より、$3x = \sqrt{5}+1$。従って、$3x - 1 = \sqrt{5}$。両辺を2乗すると $(3x-1)^2 = 5$。$9x^2 - 6x + 1 = 5$。よって、$9x^2 - 6x + 1$ の値は 5。

(4) $\sqrt{5}$ は $2 < \sqrt{5} < 3$ より、$\sqrt{5}$ の整数部分は 2。小数部分 $a = \sqrt{5} - 2$。

$\frac{a-3}{a+2} = \frac{\sqrt{5}-2-3}{\sqrt{5}-2+2} = \frac{\sqrt{5}-5}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5}-5)\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{5-5\sqrt{5}}{5} = 1 - \sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

(1) $n = 6$

(2) 13

(3) 5

(4) $1 - \sqrt{5}$