与えられた2つの分数の分母を有理化する問題です。 (2) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ (4) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの分数の分母を有理化する問題です。

(2) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$

(4) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(2) 分母の $\sqrt{3}+1$ の共役複素数である $\sqrt{3}-1$ を分子と分母にかけます。

$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$

(4) 分母の $2-\sqrt{5}$ の共役複素数である $2+\sqrt{5}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{5})}{4-5} = \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{5})}{-1} = -2\sqrt{3}-\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(2) $\sqrt{3}-1$

(4) $-2\sqrt{3}-\sqrt{15}$