(1) $\theta$ が方程式 $\cos 2\theta - 2\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たすとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。 (2) $10\cos^2 \theta - 24\sin \theta \cos \theta - 5 = 0$ のとき、$|\tan \theta|$ の値を求めよ。ただし、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ とする。 (3) $3\sin \theta + \cos \theta = 3$ が成り立っているとき、$\sin 2\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

(1) $\theta$ が方程式 $\cos 2\theta - 2\sin \theta = \frac{1}{2}$ を満たすとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。

(2) $10\cos^2 \theta - 24\sin \theta \cos \theta - 5 = 0$ のとき、$|\tan \theta|$ の値を求めよ。ただし、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ とする。

(3) $3\sin \theta + \cos \theta = 3$ が成り立っているとき、$\sin 2\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、与えられた方程式は

$1 - 2\sin^2 \theta - 2\sin \theta = \frac{1}{2}$

$2\sin^2 \theta + 2\sin \theta - \frac{1}{2} = 0$

$4\sin^2 \theta + 4\sin \theta - 1 = 0$

$\sin \theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$

ここで、$-1 \le \sin \theta \le 1$ であるから、

$\sin \theta = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$

(2)

$10\cos^2 \theta - 24\sin \theta \cos \theta - 5 = 0$

$10\cos^2 \theta - 24\sin \theta \cos \theta - 5(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 0$

$5\cos^2 \theta - 24\sin \theta \cos \theta - 5\sin^2 \theta = 0$

両辺を $\cos^2 \theta$ で割ると ($\cos \theta \neq 0$ である)

$5 - 24\tan \theta - 5\tan^2 \theta = 0$

$5\tan^2 \theta + 24\tan \theta - 5 = 0$

$(5\tan \theta - 1)(\tan \theta + 5) = 0$

$\tan \theta = \frac{1}{5}, -5$

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\tan \theta < 0$ であるから

$\tan \theta = -5$

したがって $|\tan \theta| = 5$

(3)

$3\sin \theta + \cos \theta = 3$

$\cos \theta = 3 - 3\sin \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$\sin^2 \theta + (3 - 3\sin \theta)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + 9 - 18\sin \theta + 9\sin^2 \theta = 1$

$10\sin^2 \theta - 18\sin \theta + 8 = 0$

$5\sin^2 \theta - 9\sin \theta + 4 = 0$

$(5\sin \theta - 4)(\sin \theta - 1) = 0$

$\sin \theta = \frac{4}{5}, 1$

$\sin \theta = 1$ のとき $\cos \theta = 3 - 3\sin \theta = 0$ となり、これは条件 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ に反する。

よって $\sin \theta = \frac{4}{5}$

$\cos \theta = 3 - 3\sin \theta = 3 - 3\left(\frac{4}{5}\right) = 3 - \frac{12}{5} = \frac{3}{5}$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$

(2) $|\tan \theta| = 5$

(3) $\sin 2\theta = \frac{24}{25}$