(1) $n^2 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である。この命題を対偶を利用して証明する。 (2) $m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数である。この命題を対偶を利用して証明する。

1. 問題の内容

(1) $n^2 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である。この命題を対偶を利用して証明する。

(2) $m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数である。この命題を対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

(1)

元の命題: $n^2 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である。

対偶: $n$ が偶数ならば、$n^2 + 2n + 1$ は奇数である。

$n$ が偶数であるとき、$n = 2k$ (kは整数)と表せる。

このとき、

$n^2 + 2n + 1 = (2k)^2 + 2(2k) + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

$2k^2 + 2k$ は整数なので、$2(2k^2 + 2k) + 1$ は奇数である。

したがって、対偶は真である。対偶が真であるとき、元の命題も真である。

(2)

元の命題: $m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数である。

対偶: $m, n$ がともに偶数ならば、$m^2 + n^2$ は偶数である。

$m, n$ がともに偶数であるとき、$m = 2k, n = 2l$ (k, lは整数)と表せる。

このとき、

$m^2 + n^2 = (2k)^2 + (2l)^2 = 4k^2 + 4l^2 = 2(2k^2 + 2l^2)$

$2k^2 + 2l^2$ は整数なので、$2(2k^2 + 2l^2)$ は偶数である。

したがって、対偶は真である。対偶が真であるとき、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1) $n^2 + 2n + 1$ が偶数ならば、$n$ は奇数である (真)。

(2) $m^2 + n^2$ が奇数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は奇数である (真)。