$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}$ が無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}$ が無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}$ が有理数であると仮定します。

$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}=r$ ( $r$ は有理数) とおきます。

この式を変形して、$\sqrt{6}$ について解きます。

両辺に3をかけて、

$1 + 2\sqrt{6} = 3r$

$2\sqrt{6} = 3r - 1$

$\sqrt{6} = \frac{3r-1}{2}$

$r$が有理数なので、$3r-1$ も有理数であり、$\frac{3r-1}{2}$ も有理数となります。

これは、$\sqrt{6}$ が無理数であるという仮定に矛盾します。

したがって、$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1+2\sqrt{6}}{3}$ は無理数である。