(1) $n$ は整数とする。対偶を利用して、次の命題を証明せよ。 $n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数である。 (2) (1)を利用して、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。

1. 問題の内容

(1) $n$ は整数とする。対偶を利用して、次の命題を証明せよ。

$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数である。

(2) (1)を利用して、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を利用して証明する。与えられた命題の対偶は「$n$ が 3 の倍数でなければ、$n^2$ は 3 の倍数ではない」である。

$n$ が 3 の倍数でないとき、$n = 3k + 1$ または $n = 3k + 2$ ($k$ は整数) と表せる。

(i) $n = 3k + 1$ のとき、

$n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ となり、$n^2$ は 3 の倍数ではない。

(ii) $n = 3k + 2$ のとき、

$n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ となり、$n^2$ は 3 の倍数ではない。

(i), (ii) より、$n$ が 3 の倍数でなければ、$n^2$ は 3 の倍数ではない。

したがって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

(2) 背理法を利用して証明する。$\sqrt{3}$ が無理数でないと仮定すると、$\sqrt{3}$ は有理数である。

$\sqrt{3}$ が有理数であるとすると、互いに素な整数 $m, n$ ($n \neq 0$) を用いて、$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表せる。

両辺を2乗すると、

$3 = \frac{m^2}{n^2}$

$3n^2 = m^2$

よって、$m^2$ は 3 の倍数である。

(1) より、$m^2$ が 3 の倍数ならば、$m$ は 3 の倍数である。

したがって、$m = 3k$ ($k$ は整数) と表せる。

$3n^2 = (3k)^2$

$3n^2 = 9k^2$

$n^2 = 3k^2$

よって、$n^2$ は 3 の倍数である。

(1) より、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数である。

したがって、$n$ も 3 の倍数である。

$m, n$ がともに 3 の倍数であることは、$m, n$ が互いに素であることに矛盾する。

したがって、$\sqrt{3}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

(1) 証明終了

(2) 証明終了