与えられたベクトル$\vec{a} = (2, 3, -2)$と$\vec{b} = (3, 5, -1)$について、$3\vec{a} - \vec{b}$の成分表示とその大きさを求めます。 また、4点A(1, 1, -1), B(-1, 2, 1), C(2, 1, 0), D(x, y, z)があるとき、$\overrightarrow{AB}$の成分表示を求め、四角形ABCDが平行四辺形となるようにx, y, zの値を定めます。

1. 問題の内容

与えられたベクトル$\vec{a} = (2, 3, -2)$と$\vec{b} = (3, 5, -1)$について、$3\vec{a} - \vec{b}$の成分表示とその大きさを求めます。

また、4点A(1, 1, -1), B(-1, 2, 1), C(2, 1, 0), D(x, y, z)があるとき、$\overrightarrow{AB}$の成分表示を求め、四角形ABCDが平行四辺形となるようにx, y, zの値を定めます。

2. 解き方の手順

(1) $3\vec{a} - \vec{b}$の成分表示とその大きさ

まず、$3\vec{a}$を計算します。

$3\vec{a} = 3(2, 3, -2) = (6, 9, -6)$

次に、$3\vec{a} - \vec{b}$を計算します。

$3\vec{a} - \vec{b} = (6, 9, -6) - (3, 5, -1) = (6-3, 9-5, -6-(-1)) = (3, 4, -5)$

したがって、$3\vec{a} - \vec{b}$の成分表示は$(3, 4, -5)$です。

次に、$3\vec{a} - \vec{b}$の大きさを求めます。

$|3\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(2) $\overrightarrow{AB}$の成分表示と、四角形ABCDが平行四辺形となるようなx, y, zの値

$\overrightarrow{AB}$の成分表示は、Bの座標からAの座標を引くことで求められます。

$\overrightarrow{AB} = (-1 - 1, 2 - 1, 1 - (-1)) = (-2, 1, 2)$

四角形ABCDが平行四辺形であるためには、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$である必要があります。

$\overrightarrow{DC} = (2 - x, 1 - y, 0 - z)$

したがって、

$2 - x = -2$

$1 - y = 1$

$0 - z = 2$

これらの式を解くと、

$x = 4$

$y = 0$

$z = -2$

3. 最終的な答え

(1) $3\vec{a} - \vec{b}$の成分表示は $(3, 4, -5)$ で、大きさは $5\sqrt{2}$ です。

(2) $\overrightarrow{AB}$の成分表示は $(-2, 1, 2)$ で、四角形ABCDが平行四辺形となるようなDの座標は (4, 0, -2) です。