関数 $f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ を微分し、$f'(x)$ を求める。

解析学微分多項式導関数
2025/3/28

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3+x2+x+1f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 を微分し、f(x)f'(x) を求める。

2. 解き方の手順

多項式の微分は、各項ごとに微分し、それらを足し合わせることで行います。
xnx^n の微分は nxn1nx^{n-1} となります。
定数項の微分は0となります。
まず、x3x^3 の微分は 3x31=3x23x^{3-1} = 3x^2 です。
次に、x2x^2 の微分は 2x21=2x2x^{2-1} = 2x です。
次に、xx の微分は 1x11=1x0=11x^{1-1} = 1x^0 = 1 です。
最後に、定数項1の微分は0です。
したがって、f(x)=x3+x2+x+1f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 の微分は、
f(x)=3x2+2x+1+0=3x2+2x+1f'(x) = 3x^2 + 2x + 1 + 0 = 3x^2 + 2x + 1 となります。

3. 最終的な答え

f(x)=3x2+2x+1f'(x) = 3x^2 + 2x + 1

「解析学」の関連問題

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、以下の6つの和を計算します。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k-7)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} 3^k$ (3) $\su...

数列級数シグマ等比数列部分分数分解
2025/4/8

画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題です。 (6) 不等式 $9^x > 3^{3x+1}$ を解く。 (7) 方程式 $\log_2(x+1) + \log_2(x-2) = 2$...

不等式対数微分極値積分
2025/4/8

3次関数 $y = 2x^3 + x^2 - 2x - 1$ について、以下の問いに答えます。 (1) 曲線とx軸の共有点のx座標を求めます。 (2) $y \ge 0$ となるxの区間を求めます。 ...

3次関数積分面積因数分解
2025/4/8

(1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ で囲まれた部分の面積を求めます。 (2) 2つの放物線 $y = 2x^2 - 9x - 12$ ($1 \le x \le 5$...

定積分面積放物線積分
2025/4/8

与えられた放物線とx軸、そして指定された直線で囲まれた部分の面積を計算する問題です。具体的には、以下の3つの小問があります。 (1) 放物線 $y = 3x^2 - 4x + 5$ とx軸、直線 $x...

積分面積放物線定積分
2025/4/8

与えられた4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{2} (3x^2 + 4x - 5) dx$ (2) $2\int_{1}^{3} (x-1) dx - \int_{1}^{...

定積分積分積分計算
2025/4/8

(1) $f'(x) = (3x+2)^2$ かつ $f(-1) = 0$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。 (2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(x, y)$ における接線の傾きが ...

積分微分関数
2025/4/8

3次関数 $y = x^3 - 3x^2 - 5x$ のグラフと直線 $y = 4x + a$ の共有点の個数を、$a$ の値によって場合分けして求めます。

3次関数グラフ共有点微分増減極大極小
2025/4/8

$f'(x) = -6x^2 + 6x + 12 = -6(x^2 - x - 2) = -6(x - 2)(x + 1)$

最大値最小値微分三次関数四次関数増減表
2025/4/8

(1) 関数 $y = -2x^3 + 3x^2 - 6$ の極大値と極小値を求める。 (2) 関数 $y = x^3 + kx^2 + 3x + 1$ が常に単調に増加するときの定数 $k$ の値の...

微分極値単調増加判別式
2025/4/8