関数 $f(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ を微分し、$f'(x)$ を求める。

解析学微分多項式導関数
2025/3/28

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3+x2+x+1f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 を微分し、f(x)f'(x) を求める。

2. 解き方の手順

多項式の微分は、各項ごとに微分し、それらを足し合わせることで行います。
xnx^n の微分は nxn1nx^{n-1} となります。
定数項の微分は0となります。
まず、x3x^3 の微分は 3x31=3x23x^{3-1} = 3x^2 です。
次に、x2x^2 の微分は 2x21=2x2x^{2-1} = 2x です。
次に、xx の微分は 1x11=1x0=11x^{1-1} = 1x^0 = 1 です。
最後に、定数項1の微分は0です。
したがって、f(x)=x3+x2+x+1f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 の微分は、
f(x)=3x2+2x+1+0=3x2+2x+1f'(x) = 3x^2 + 2x + 1 + 0 = 3x^2 + 2x + 1 となります。

3. 最終的な答え

f(x)=3x2+2x+1f'(x) = 3x^2 + 2x + 1

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