4点 A(1, 1, -1), B(-1, 2, 1), C(2, 1, 0), D(x, y, z) があるとき、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ の成分表示を求めよ。また、四角形 ABCD が平行四辺形となるように、x, y, z の値を定めよ。

1. 問題の内容

4点 A(1, 1, -1), B(-1, 2, 1), C(2, 1, 0), D(x, y, z) があるとき、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ の成分表示を求めよ。また、四角形 ABCD が平行四辺形となるように、x, y, z の値を定めよ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ の成分表示を求める。

$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1, 2 - 1, 1 - (-1)) = (-2, 1, 2)$

次に、四角形 ABCD が平行四辺形となる条件を考える。平行四辺形では、$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ が成り立つ。

$\overrightarrow{DC} = C - D = (2 - x, 1 - y, 0 - z)$

したがって、

$(2 - x, 1 - y, -z) = (-2, 1, 2)$

各成分について、

$2 - x = -2$

$1 - y = 1$

$-z = 2$

これらの式を解くと、

$x = 4$

$y = 0$

$z = -2$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AB} = (-2, 1, 2)$

$x = 4$, $y = 0$, $z = -2$