三角形ABCにおいて、角Aとその外角の二等分線が、辺BCおよびその延長とそれぞれ点P, Qで交わる。 $AB=6$, $BC=7$, $AC=3$ のとき、$PQ$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aとその外角の二等分線が、辺BCおよびその延長とそれぞれ点P, Qで交わる。

$AB=6$, $BC=7$, $AC=3$ のとき、$PQ$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、角Aの二等分線に関する性質を利用して、$BP$の長さを求める。角の二等分線定理より、

$\frac{BP}{PC} = \frac{AB}{AC}$

与えられた値から、

$\frac{BP}{PC} = \frac{6}{3} = 2$

$PC = BC - BP = 7 - BP$ を代入すると、

$\frac{BP}{7-BP} = 2$

$BP = 2(7-BP) = 14 - 2BP$

$3BP = 14$

$BP = \frac{14}{3}$

次に、角Aの外角の二等分線に関する性質を利用して、$CQ$の長さを求める。外角の二等分線定理より、

$\frac{BQ}{CQ} = \frac{AB}{AC}$

与えられた値から、

$\frac{BQ}{CQ} = \frac{6}{3} = 2$

$BQ = BC + CQ = 7 + CQ$ を代入すると、

$\frac{7+CQ}{CQ} = 2$

$7+CQ = 2CQ$

$CQ = 7$

最後に、$PQ$ の長さを求める。

$PQ = PC + CQ = BC - BP + CQ$

$PC = BC - BP = 7 - \frac{14}{3} = \frac{21-14}{3} = \frac{7}{3}$

よって、

$PQ = \frac{7}{3} + 7 = \frac{7+21}{3} = \frac{28}{3}$

あるいは

$PQ = BQ - BP = (BC + CQ) - BP = (7 + 7) - \frac{14}{3} = 14 - \frac{14}{3} = \frac{42-14}{3} = \frac{28}{3}$

3. 最終的な答え

$PQ = \frac{28}{3}$