$a$ を定数として、2次関数 $f(x) = -x^2 - 2ax + 5$ の $-2 \le x \le 2$ における最大値 $M(a)$ を求める問題です。放物線 $C$ の頂点の位置によって $M(a)$ がどのように変わるかを場合分けして求める必要があります。

1. 問題の内容

$a$ を定数として、2次関数 $f(x) = -x^2 - 2ax + 5$ の $-2 \le x \le 2$ における最大値 $M(a)$ を求める問題です。放物線 $C$ の頂点の位置によって $M(a)$ がどのように変わるかを場合分けして求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成して、放物線 $C$ の頂点を求めます。

$f(x) = -(x^2 + 2ax) + 5 = -(x+a)^2 + a^2 + 5$

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(-a, a^2+5)$ となります。また、$f(x)$ のグラフは上に凸な放物線です。

次に、頂点の $x$ 座標 $-a$ の位置によって場合分けをします。

(i) $-2 \le -a \le 2$ すなわち $-2 \le a \le 2$ のとき、頂点が定義域に含まれるため、$x = -a$ で最大値をとります。

$M(a) = f(-a) = -(-a)^2 - 2a(-a) + 5 = -a^2 + 2a^2 + 5 = a^2 + 5$

(ii) $-a < -2$ すなわち $a > 2$ のとき、定義域内で $x$ が増加すると $f(x)$ は減少するため、$x = -2$ で最大値をとります。

$M(a) = f(-2) = -(-2)^2 - 2a(-2) + 5 = -4 + 4a + 5 = 4a + 1$

(iii) $-a > 2$ すなわち $a < -2$ のとき、定義域内で $x$ が増加すると $f(x)$ は増加するため、$x = 2$ で最大値をとります。

$M(a) = f(2) = -(2)^2 - 2a(2) + 5 = -4 - 4a + 5 = -4a + 1$

3. 最終的な答え

* ア: $-a$

* イ: $a^2+5$

* ウ: $a^2+5$

* エ: $4a+1$

* オ: $-4a+1$