関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3a$ ($0 \le x \le 1$) の最大値 $M(a)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2ax + 3a$ ($0 \le x \le 1$) の最大値 $M(a)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成して頂点の座標を求めます。

$f(x) = -(x^2 - 2ax) + 3a = -(x - a)^2 + a^2 + 3a$

したがって、頂点の座標は $(a, a^2 + 3a)$ となります。

次に、放物線 $C$ の軸の方程式を求めます。

軸の方程式は $x = a$ です。

$x = a$ が $f(x)$ の定義域に含まれるか否かで場合分けします。つまり、$0 \le a \le 1$ かどうかで場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき、定義域 $0 \le x \le 1$ で $f(x)$ は増加関数となるので、$x=1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(1) = -1 + 2a + 3a = 5a - 1$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、頂点の $x$ 座標 $x=a$ が定義域に含まれるので、$x=a$ で最大値をとります。

$M(a) = a^2 + 3a$

(iii) $a > 1$ のとき、定義域 $0 \le x \le 1$ で $f(x)$ は減少関数となるので、$x=0$ で最大値をとります。

$M(a) = f(0) = 3a$

3. 最終的な答え

ア: $(a, a^2+3a)$

イ: $a$

ウ: 5

エ: -1

オ: 3

カ: 3

キ: 0

(i) $a<0$ のとき、$M(a) = 5a - 1$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$M(a) = a^2 + 3a$

(iii) $a>1$ のとき、$M(a) = 3a$