与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{(x+1)^2}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{(x+1)^2}$$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、$x \to \infty$のときの関数の振る舞いを調べます。分子と分母を$x^2$で割ることで、計算を簡単にできます。

まず、分母を展開します。

$$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$

したがって、極限は次のようになります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 + 2x + 1}$$

次に、分子と分母を$x^2$で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$$

$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{x} \to 0$および$\frac{1}{x^2} \to 0$であるため、極限は次のようになります。

$$\frac{1}{1 + 0 + 0} = \frac{1}{1} = 1$$

3. 最終的な答え

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