行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ が与えられています。 (イ) A の第2行と第1列を取り除いて定義される2次小行列 $A_{21}$ の行列式 $|A_{21}|$ を求めます。 (ウ) A の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めた後、その行列式 $|\tilde{A}|$ を求めます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ が与えられています。

(イ) A の第2行と第1列を取り除いて定義される2次小行列 $A_{21}$ の行列式 $|A_{21}|$ を求めます。

(ウ) A の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めた後、その行列式 $|\tilde{A}|$ を求めます。

2. 解き方の手順

(イ)

$A_{21}$ は行列 $A$ の第2行と第1列を取り除いた行列なので、 $A_{21} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ となります。

$|A_{21}| = (2 \times 1) - (3 \times 2) = 2 - 6 = -4$

(ウ)

行列 $A$ の余因子行列 $\tilde{A}$ を求めます。まず、各要素の余因子を計算します。

$C_{11} = (4 \times 1) - (0 \times 2) = 4$

$C_{12} = -(0 \times 1 - 0 \times 3) = 0$

$C_{13} = (0 \times 2) - (4 \times 3) = -12$

$C_{21} = -(2 \times 1 - 3 \times 2) = -(2 - 6) = 4$

$C_{22} = (1 \times 1 - 3 \times 3) = 1 - 9 = -8$

$C_{23} = -(1 \times 2 - 3 \times 2) = -(2 - 6) = 4$

$C_{31} = (2 \times 0 - 4 \times 3) = 0 - 12 = -12$

$C_{32} = -(1 \times 0 - 0 \times 3) = 0$

$C_{33} = (1 \times 4 - 0 \times 2) = 4$

余因子行列は

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & -12 \\ 4 & -8 & 4 \\ -12 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

を転置したものです。

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} 4 & 4 & -12 \\ 0 & -8 & 0 \\ -12 & 4 & 4 \end{bmatrix}$

$|\tilde{A}|$ を計算します。

$|\tilde{A}| = 4 \times ((-8) \times 4 - 0 \times 4) - 4 \times (0 \times 4 - (-12) \times (-8)) + (-12) \times (0 \times 0 - (-12) \times (-8))$

$= 4 \times (-32) - 4 \times (-96) - 12 \times (-96)$

$= -128 + 384 + 1152 = 1408$

一方、

行列 $A$ の行列式は

$|A| = 1 \times (4 \times 1 - 0 \times 2) - 2 \times (0 \times 1 - 0 \times 3) + 3 \times (0 \times 2 - 4 \times 3) = 1 \times 4 - 2 \times 0 + 3 \times (-12) = 4 - 36 = -32$

$|\tilde{A}| = |A|^{n-1} = |A|^2 = (-32)^2 = 1024$

3. 最終的な答え

イ: -4

ウ: 1024

しかし、選択肢の中に1024がないため、計算を見直します。

$|A| = -32$であるので、

$|\tilde{A}| = |A|^2 = (-32)^2 = 1024$

しかしながら、写真に解答群がないので、正答を特定できません。

問題文から余因子行列の行列式を求める指示と解釈すると、上記の計算より $|\tilde{A}| = 1024$となります。

$A_{21}$の行列式$|A_{21}|=-4$

余因子行列の行列式$|\tilde{A}|= |A|^2 = (-32)^2 = 1024$

問題文の指示通りに計算しましたが、適切な選択肢を見つけることができません。

もしかすると、余因子行列ではなく、転置余因子行列（adjugate matrix）の行列式を求めている可能性があります。しかし、転置余因子行列の行列式も同じく$|A|^2$となります。

(イ) は -4 で正しいです。 (ウ) については選択肢が提供されていないため、確定できませんが、計算結果は1024です。