$x, y$ は実数であるとき、命題「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」の逆と対偶を述べ、それらの真偽を調べる。

## 問題8(1)

1. 問題の内容

$x, y$ は実数であるとき、命題「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」の逆と対偶を述べ、それらの真偽を調べる。

2. 解き方の手順

(1) 逆を求める。

元の命題は「$P$ ならば $Q$」の形をしている。ここで、$P$ は「$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数である」、 $Q$ は「$x, y$ の少なくとも一方は無理数である」である。

逆は「$Q$ ならば $P$」なので、「$x, y$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数である」となる。

次に、逆の真偽を調べる。

$x=\sqrt{2}, y=1$ のとき、$x$ は無理数、$y$ は有理数なので、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である。

このとき、$x-y = \sqrt{2} - 1$ は無理数、$xy = \sqrt{2}$ は無理数なので、$x-y, xy$ の少なくとも一方は無理数である。

$x=\sqrt{2}, y=\sqrt{2}$ のとき、$x, y$ はともに無理数なので、$x, y$ の少なくとも一方は無理数である。

このとき、$x-y = 0$ は有理数、$xy = 2$ は有理数なので、$x-y, xy$ の少なくとも一方は無理数ではない。

したがって、逆は偽である。

(2) 対偶を求める。

元の命題「$P$ ならば $Q$」の対偶は「$\overline{Q}$ ならば $\overline{P}$」である。ここで、$\overline{Q}$ は「$x, y$ はともに有理数である」、$\overline{P}$ は「$x-y, xy$ はともに有理数である」である。

したがって、対偶は「$x, y$ はともに有理数ならば、$x-y, xy$ はともに有理数である」となる。

次に、対偶の真偽を調べる。

$x, y$ はともに有理数であるとする。このとき、$x-y$ は有理数、$xy$ も有理数である。したがって、$x-y, xy$ はともに有理数である。

したがって、対偶は真である。

元の命題の真偽は対偶の真偽と一致するので、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

元の命題: 真

逆: 「$x, y$ の少なくとも一方が無理数ならば、$x-y, xy$ の少なくとも一方が無理数である」　偽

対偶: 「$x, y$ はともに有理数ならば、$x-y, xy$ はともに有理数である」　真