袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この中から同時に3個を取り出すとき、少なくとも1個は白玉である取り出し方は何通りあるか。ただし、玉はすべて区別するものとする。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。この中から同時に3個を取り出すとき、少なくとも1個は白玉である取り出し方は何通りあるか。ただし、玉はすべて区別するものとする。

2. 解き方の手順

少なくとも1個が白玉である取り出し方を求める問題なので、余事象の考え方を利用する。

まず、3個の玉を取り出すすべての取り出し方を計算する。

次に、3個の玉を取り出すときに、白玉が1つも含まれない（つまりすべて赤玉である）取り出し方を計算する。

すべての取り出し方から、すべて赤玉の取り出し方を引けば、少なくとも1個が白玉である取り出し方が求められる。

すべての玉の個数は $5 + 3 = 8$ 個である。

8個の玉から3個を取り出す組み合わせの総数は、組み合わせの公式より、

$_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り

次に、3個とも赤玉を取り出す組み合わせの数を計算する。

5個の赤玉から3個を取り出す組み合わせの数は、組み合わせの公式より、

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

したがって、少なくとも1個が白玉である取り出し方は、すべての取り出し方からすべて赤玉の取り出し方を引いて、

$56 - 10 = 46$ 通り

3. 最終的な答え

46通り