不定積分 $\int e^{-2x} \sin 3x \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int e^{-2x} \sin 3x \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

部分積分を2回行うことで解くことができます。

ステップ1：

$I = \int e^{-2x} \sin 3x \, dx$ とおく。

$u = \sin 3x$, $dv = e^{-2x} dx$ とすると,

$du = 3 \cos 3x \, dx$, $v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$ となる。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \int (-\frac{1}{2} e^{-2x}) (3 \cos 3x) \, dx$

$I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} \int e^{-2x} \cos 3x \, dx$

ステップ2：

$\int e^{-2x} \cos 3x \, dx$ を部分積分で計算する。

$u = \cos 3x$, $dv = e^{-2x} dx$ とすると,

$du = -3 \sin 3x \, dx$, $v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$ となる。

$\int e^{-2x} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \int (-\frac{1}{2} e^{-2x}) (-3 \sin 3x) \, dx$

$\int e^{-2x} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} \int e^{-2x} \sin 3x \, dx$

$\int e^{-2x} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} I$

ステップ3：

ステップ2の結果をステップ1の式に代入する。

$I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} (-\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} I)$

$I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{-2x} \cos 3x - \frac{9}{4} I$

$I + \frac{9}{4} I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{-2x} \cos 3x$

$\frac{13}{4} I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{-2x} \cos 3x$

$I = \frac{4}{13} (-\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{-2x} \cos 3x)$

$I = -\frac{2}{13} e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{13} e^{-2x} \cos 3x + C$

$I = -\frac{e^{-2x}}{13} (2 \sin 3x + 3 \cos 3x) + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{e^{-2x}}{13} (2 \sin 3x + 3 \cos 3x) + C$