次の5つの定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$ (2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$ (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$ (4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$ (5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

1. 問題の内容

次の5つの定積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$

(4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$

(5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx = \int_{1}^{9} x^{\frac{1}{2}} dx$

$x^{\frac{1}{2}}$ の原始関数は $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{9} = \frac{2}{3}(9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(27) - \frac{2}{3}(1) = 18 - \frac{2}{3} = \frac{54 - 2}{3} = \frac{52}{3}$

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx$

$t = x-2$ と置換すると、$x = t+2$、$dx = dt$ となります。

積分範囲は、$x=2$ のとき $t=0$、$x=4$ のとき $t=2$ となります。

$\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^4 dx = \int_{0}^{2} (t+3)t^4 dt = \int_{0}^{2} (t^5 + 3t^4) dt$

$= \left[ \frac{1}{6}t^6 + \frac{3}{5}t^5 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{6}(2^6) + \frac{3}{5}(2^5) = \frac{64}{6} + \frac{3 \cdot 32}{5} = \frac{32}{3} + \frac{96}{5} = \frac{32 \cdot 5 + 96 \cdot 3}{15} = \frac{160 + 288}{15} = \frac{448}{15}$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用います。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6 \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (3 - 3\cos 2x) dx = \left[ 3x - \frac{3}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$= \left( 3 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}\sin \frac{\pi}{2} \right) - (0 - 0) = \frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$

(4) $\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx$

$6e^{2x}$ の原始関数は $3e^{2x}$ です。

$\int_{0}^{\log 3} 6e^{2x} dx = \left[ 3e^{2x} \right]_{0}^{\log 3} = 3e^{2\log 3} - 3e^{0} = 3e^{\log 3^2} - 3 = 3 \cdot 9 - 3 = 27 - 3 = 24$

(5) $\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx$

部分積分を行います。$u = x$、$dv = e^{-3x} dx$ とすると、$du = dx$、$v = -\frac{1}{3}e^{-3x}$ となります。

$\int xe^{-3x} dx = uv - \int v du = x\left( -\frac{1}{3}e^{-3x} \right) - \int \left( -\frac{1}{3}e^{-3x} \right) dx = -\frac{1}{3}xe^{-3x} + \frac{1}{3} \int e^{-3x} dx = -\frac{1}{3}xe^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x} + C$

$\int_{0}^{1} xe^{-3x} dx = \left[ -\frac{1}{3}xe^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x} \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{3}e^{-3} - \frac{1}{9}e^{-3} \right) - \left( 0 - \frac{1}{9} \right) = -\frac{3}{9}e^{-3} - \frac{1}{9}e^{-3} + \frac{1}{9} = -\frac{4}{9}e^{-3} + \frac{1}{9} = \frac{1 - 4e^{-3}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{52}{3}$

(2) $\frac{448}{15}$

(3) $\frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$

(4) $24$

(5) $\frac{1 - 4e^{-3}}{9}$