与えられた積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

この積分は、被積分関数 $\frac{1}{x}$ が $x=0$ で定義されていないため、広義積分として扱う必要があります。また、$-\infty$ から $\infty$ までの積分なので、積分を以下のように分割します。

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{x} dx + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} dx$

さらに、$x=0$ での積分は特異点を持つため、主値積分を考えます。主値積分とは、$-\epsilon$ から $\epsilon$ を避けて積分する考え方です。つまり、

$PV \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{1}{x} dx + \int_{\epsilon}^{\infty} \frac{1}{x} dx \right)$

ここで、

$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$

を用いて積分を計算します。

$\int_{-\infty}^{-\epsilon} \frac{1}{x} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{-\epsilon} \frac{1}{x} dx = \lim_{a \to -\infty} [\ln |x|]_a^{-\epsilon} = \lim_{a \to -\infty} (\ln |\epsilon| - \ln |a|) = \ln \epsilon - \lim_{a \to -\infty} \ln |a|$

$\int_{\epsilon}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{\epsilon}^{b} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to \infty} [\ln |x|]_\epsilon^{b} = \lim_{b \to \infty} (\ln |b| - \ln |\epsilon|) = \lim_{b \to \infty} \ln b - \ln \epsilon$

したがって、

$PV \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \left( (\ln \epsilon - \lim_{a \to -\infty} \ln |a|) + (\lim_{b \to \infty} \ln b - \ln \epsilon) \right) = \lim_{\epsilon \to 0} \left( \lim_{b \to \infty} \ln b - \lim_{a \to -\infty} \ln |a|\right)$

これは不定形です。しかし、コーシーの主値を考慮すると、対称な積分範囲をとることで打ち消しあう場合があります。

より正確には、次のように計算します。

$PV \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{\substack{a \to \infty \\ b \to \infty}} \left( \int_{-a}^{-\epsilon} \frac{1}{x} dx + \int_{\epsilon}^{b} \frac{1}{x} dx \right)$

$PV \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{\substack{a \to \infty \\ b \to \infty}} \left( [\ln |x|]_{-a}^{-\epsilon} + [\ln |x|]_{\epsilon}^{b} \right)$

$PV \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{\substack{a \to \infty \\ b \to \infty}} \left( (\ln \epsilon - \ln a) + (\ln b - \ln \epsilon) \right) = \lim_{\substack{a \to \infty \\ b \to \infty}} (\ln b - \ln a)$

特に、$a = b$ とすると、

$PV \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \lim_{a \to \infty} (\ln a - \ln a) = 0$

3. 最終的な答え

0