与えられた3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$ (2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^{4} dx$ (3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^{4} dx$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$ の計算

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、不定積分は

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

定積分は

$\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{9} = \frac{2}{3} (9^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (27 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 26 = \frac{52}{3}$

(2) $\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^{4} dx$ の計算

$t = x-2$ と置換すると、$x = t+2$ となり、$dx = dt$。

$x$ が $2$ から $4$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $2$ まで変化する。

$\int_{2}^{4} (x+1)(x-2)^{4} dx = \int_{0}^{2} (t+2+1)t^{4} dt = \int_{0}^{2} (t+3)t^{4} dt = \int_{0}^{2} (t^{5} + 3t^{4}) dt$

$= \left[ \frac{t^{6}}{6} + \frac{3t^{5}}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{2^{6}}{6} + \frac{3 \cdot 2^{5}}{5} = \frac{64}{6} + \frac{3 \cdot 32}{5} = \frac{32}{3} + \frac{96}{5} = \frac{32 \cdot 5 + 96 \cdot 3}{15} = \frac{160 + 288}{15} = \frac{448}{15}$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx$ の計算

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ より、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6\sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 6 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (3 - 3\cos 2x) dx$

$= \left[ 3x - \frac{3}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left( 3 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{3}{2} \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left( 0 - \frac{3}{2} \sin 0 \right) = \frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2} \cdot 1 - 0 = \frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{52}{3}$

(2) $\frac{448}{15}$

(3) $\frac{3\pi}{4} - \frac{3}{2}$