定積分 $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}$ を $x^{1/2}$ と書き換えます。

次に、$x^{1/2}$ の不定積分を求めます。

$x^n$ の不定積分は $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ (ただし $n \neq -1$) であることを利用します。

よって、

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分の値を求めます。

$\int_{1}^{9} \sqrt{x} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{1}^{9}$

$= \frac{2}{3}(9^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2})$

$= \frac{2}{3}((\sqrt{9})^3) - \frac{2}{3}(1)$

$= \frac{2}{3}(3^3) - \frac{2}{3}$

$= \frac{2}{3}(27) - \frac{2}{3}$

$= 18 - \frac{2}{3}$

$= \frac{54}{3} - \frac{2}{3}$

$= \frac{52}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{52}{3}$