曲線 $y = x^3 + 2$ 上の点から、点 $(0, 18)$ へ引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 + 2$ 上の点から、点 $(0, 18)$ へ引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を $(t, t^3 + 2)$ とおく。

(2) $y = x^3 + 2$ を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y' = 3x^2$

(3) 接点 $(t, t^3 + 2)$ における接線の傾きは、導関数に $x = t$ を代入することで得られる。つまり、$3t^2$ が接線の傾きである。

(4) 接線の方程式は、点 $(t, t^3 + 2)$ を通り、傾きが $3t^2$ の直線であるから、

$y - (t^3 + 2) = 3t^2 (x - t)$

$y = 3t^2 x - 3t^3 + t^3 + 2$

$y = 3t^2 x - 2t^3 + 2$

(5) この接線が点 $(0, 18)$ を通るから、接線の方程式に $x = 0, y = 18$ を代入する。

$18 = 3t^2 (0) - 2t^3 + 2$

$18 = -2t^3 + 2$

$2t^3 = -16$

$t^3 = -8$

$t = -2$

(6) 接点の座標は $(t, t^3 + 2)$ であるから、 $t = -2$ を代入して、

$(-2, (-2)^3 + 2) = (-2, -8 + 2) = (-2, -6)$

(7) 接線の方程式は $y = 3t^2 x - 2t^3 + 2$ であり、$t = -2$ を代入して、

$y = 3(-2)^2 x - 2(-2)^3 + 2$

$y = 3(4) x - 2(-8) + 2$

$y = 12x + 16 + 2$

$y = 12x + 18$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 12x + 18$ のとき、接点は $(-2, -6)$ 。