関数 $f(x) = [x^3]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。ここで、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表すガウス記号です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = [x^3]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。ここで、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表すガウス記号です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

(1) $f(0)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = [0^3] = [0] = 0$

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を調べます。

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} [x^3]$

$x$ が $0$ に近づくとき、$x^3$ も $0$ に近づきます。

$x$ が正の方向から $0$ に近づく場合、$x^3$ は正の小さな値を取り、$[x^3] = 0$ となります。

$x$ が負の方向から $0$ に近づく場合、$x^3$ は負の小さな値を取り、$[x^3] = -1$ となります。

したがって、右極限と左極限はそれぞれ次のようになります。

$\lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to +0} [x^3] = 0$

$\lim_{x \to -0} f(x) = \lim_{x \to -0} [x^3] = -1$

右極限と左極限が一致しないため、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しません。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在しないため、関数 $f(x) = [x^3]$ は $x=0$ で連続ではありません。

最終的な答え：連続ではない。