関数 $y = \frac{1}{\arctan{x} + x}$ の導関数 $y'$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\arctan{x} + x}$ の導関数 $y'$ を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は、定数を関数で割った形 $y = \frac{c}{f(x)}$ と見なすことができます。この場合の導関数は $y' = -\frac{c f'(x)}{f(x)^2}$ となります。

ここでは、 $c = 1$ であり、$f(x) = \arctan{x} + x$ です。

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。$\arctan{x}$ の導関数は $\frac{1}{1 + x^2}$ であり、$x$ の導関数は $1$ です。したがって、

$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} + 1 = \frac{1 + 1 + x^2}{1 + x^2} = \frac{2 + x^2}{1 + x^2}$

よって、$y'$ は次のようになります。

$y' = -\frac{1 \cdot f'(x)}{f(x)^2} = -\frac{\frac{2 + x^2}{1 + x^2}}{(\arctan{x} + x)^2} = -\frac{2 + x^2}{(1 + x^2)(\arctan{x} + x)^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2+x^2}{(1+x^2)(\arctan{x}+x)^2}$