与えられた3つの曲線について、それぞれの長さを求めます。 (1) サイクロイド: $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) (2) 半円: $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ (3) カージオイド: $r = a(1 + \cos \theta)$

はい、承知いたしました。与えられた問題について、一つずつ解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた3つの曲線について、それぞれの長さを求めます。

(1) サイクロイド: $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$)

(2) 半円: $y = \sqrt{a^2 - x^2}$

(3) カージオイド: $r = a(1 + \cos \theta)$

2. 解き方の手順

(1) サイクロイドの長さ

まず、$x$と$y$を$t$で微分します。

$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = a\sin t$

曲線の長さ$L$は次の式で与えられます。

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = a^2(1 - \cos t)^2 + a^2\sin^2 t = a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t) = a^2(2 - 2\cos t) = 2a^2(1 - \cos t)$

$1 - \cos t = 2\sin^2(\frac{t}{2})$であるから、

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = 4a^2\sin^2(\frac{t}{2})$

したがって、

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4a^2\sin^2(\frac{t}{2})} dt = \int_{0}^{2\pi} 2a|\sin(\frac{t}{2})| dt$

$0 \le t \le 2\pi$において$\sin(\frac{t}{2}) \ge 0$なので、絶対値を外せます。

$L = 2a\int_{0}^{2\pi} \sin(\frac{t}{2}) dt = 2a[-2\cos(\frac{t}{2})]_{0}^{2\pi} = -4a(\cos(\pi) - \cos(0)) = -4a(-1 - 1) = 8a$

(2) 半円の長さ

$y = \sqrt{a^2 - x^2}$は半径$a$の上半円を表します。

半円の長さは、円周の半分であるから、

$L = \pi a$

(3) カージオイドの長さ

$r = a(1 + \cos \theta)$

$x = r\cos \theta = a(1 + \cos \theta)\cos \theta = a(\cos \theta + \cos^2 \theta)$

$y = r\sin \theta = a(1 + \cos \theta)\sin \theta = a(\sin \theta + \sin \theta \cos \theta)$

$\frac{dx}{d\theta} = a(-\sin \theta - 2\cos \theta \sin \theta) = -a(\sin \theta + \sin 2\theta)$

$\frac{dy}{d\theta} = a(\cos \theta + \cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = a(\cos \theta + \cos 2\theta)$

$(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2 = a^2[(\sin \theta + \sin 2\theta)^2 + (\cos \theta + \cos 2\theta)^2] = a^2(\sin^2 \theta + 2\sin \theta \sin 2\theta + \sin^2 2\theta + \cos^2 \theta + 2\cos \theta \cos 2\theta + \cos^2 2\theta) = a^2(1 + 1 + 2(\sin \theta \sin 2\theta + \cos \theta \cos 2\theta)) = 2a^2(1 + \cos(2\theta - \theta)) = 2a^2(1 + \cos \theta) = 4a^2\cos^2(\frac{\theta}{2})$

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2} d\theta = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{4a^2\cos^2(\frac{\theta}{2})} d\theta = \int_{0}^{2\pi} 2a|\cos(\frac{\theta}{2})| d\theta$

$\cos(\frac{\theta}{2})$は$\theta = \pi$で符号が変わるため、積分を分割します。

$L = 2a[\int_{0}^{\pi} \cos(\frac{\theta}{2}) d\theta - \int_{\pi}^{2\pi} \cos(\frac{\theta}{2}) d\theta] = 2a[2\sin(\frac{\theta}{2})]_{0}^{\pi} - 2a[2\sin(\frac{\theta}{2})]_{\pi}^{2\pi} = 4a(1 - 0) - 4a(0 - 1) = 4a + 4a = 8a$

3. 最終的な答え

(1) サイクロイドの長さ: $8a$

(2) 半円の長さ: $\pi a$

(3) カージオイドの長さ: $8a$