関数 $f(x, y) = e^{x+y}(x+y+1)$ が与えられている。2次関数 $g(x, y) = a_0 + a_1x + a_2y + a_{11}x^2 + a_{12}xy + a_{22}y^2$ に対して、$f(x, y) - g(x, y) = O((x+1)^2 + (y+1)^2)$ が $(x, y) \to (-1, -1)$ で成り立つように、定数 $a_0, a_1, a_2, a_{11}, a_{12}, a_{22}$ を定める。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = e^{x+y}(x+y+1)$ が与えられている。2次関数 $g(x, y) = a_0 + a_1x + a_2y + a_{11}x^2 + a_{12}xy + a_{22}y^2$ に対して、$f(x, y) - g(x, y) = O((x+1)^2 + (y+1)^2)$ が $(x, y) \to (-1, -1)$ で成り立つように、定数 $a_0, a_1, a_2, a_{11}, a_{12}, a_{22}$ を定める。

2. 解き方の手順

$f(x, y) - g(x, y) = O((x+1)^2 + (y+1)^2)$ が $(x, y) \to (-1, -1)$ で成り立つためには、$f(-1, -1) = g(-1, -1)$、$f_x(-1, -1) = g_x(-1, -1)$、$f_y(-1, -1) = g_y(-1, -1)$、$f_{xx}(-1, -1) = g_{xx}(-1, -1)$、$f_{xy}(-1, -1) = g_{xy}(-1, -1)$、$f_{yy}(-1, -1) = g_{yy}(-1, -1)$ が成り立つ必要がある。

まず、$f(x, y)$ の偏導関数を計算する。

$f(x, y) = e^{x+y}(x+y+1)$

$f_x(x, y) = e^{x+y}(x+y+1) + e^{x+y} = e^{x+y}(x+y+2)$

$f_y(x, y) = e^{x+y}(x+y+1) + e^{x+y} = e^{x+y}(x+y+2)$

$f_{xx}(x, y) = e^{x+y}(x+y+2) + e^{x+y} = e^{x+y}(x+y+3)$

$f_{xy}(x, y) = e^{x+y}(x+y+2) + e^{x+y} = e^{x+y}(x+y+3)$

$f_{yy}(x, y) = e^{x+y}(x+y+2) + e^{x+y} = e^{x+y}(x+y+3)$

次に、$g(x, y)$ の偏導関数を計算する。

$g(x, y) = a_0 + a_1x + a_2y + a_{11}x^2 + a_{12}xy + a_{22}y^2$

$g_x(x, y) = a_1 + 2a_{11}x + a_{12}y$

$g_y(x, y) = a_2 + a_{12}x + 2a_{22}y$

$g_{xx}(x, y) = 2a_{11}$

$g_{xy}(x, y) = a_{12}$

$g_{yy}(x, y) = 2a_{22}$

$(x, y) = (-1, -1)$ での値を計算する。

$f(-1, -1) = e^{-2}(-1 - 1 + 1) = -e^{-2}$

$f_x(-1, -1) = e^{-2}(-1 - 1 + 2) = 0$

$f_y(-1, -1) = e^{-2}(-1 - 1 + 2) = 0$

$f_{xx}(-1, -1) = e^{-2}(-1 - 1 + 3) = e^{-2}$

$f_{xy}(-1, -1) = e^{-2}(-1 - 1 + 3) = e^{-2}$

$f_{yy}(-1, -1) = e^{-2}(-1 - 1 + 3) = e^{-2}$

$g(-1, -1) = a_0 - a_1 - a_2 + a_{11} + a_{12} + a_{22}$

$g_x(-1, -1) = a_1 - 2a_{11} - a_{12}$

$g_y(-1, -1) = a_2 - a_{12} - 2a_{22}$

$g_{xx}(-1, -1) = 2a_{11}$

$g_{xy}(-1, -1) = a_{12}$

$g_{yy}(-1, -1) = 2a_{22}$

上記の条件より、以下の式を得る。

$a_0 - a_1 - a_2 + a_{11} + a_{12} + a_{22} = -e^{-2}$

$a_1 - 2a_{11} - a_{12} = 0$

$a_2 - a_{12} - 2a_{22} = 0$

$2a_{11} = e^{-2}$

$a_{12} = e^{-2}$

$2a_{22} = e^{-2}$

これらの式を解く。

$a_{11} = e^{-2}/2$

$a_{22} = e^{-2}/2$

$a_{12} = e^{-2}$

$a_1 = 2a_{11} + a_{12} = e^{-2} + e^{-2} = 2e^{-2}$

$a_2 = a_{12} + 2a_{22} = e^{-2} + e^{-2} = 2e^{-2}$

$a_0 = a_1 + a_2 - a_{11} - a_{12} - a_{22} - e^{-2} = 2e^{-2} + 2e^{-2} - e^{-2}/2 - e^{-2} - e^{-2}/2 - e^{-2} = 4e^{-2} - 2e^{-2} - e^{-2} = e^{-2}$

3. 最終的な答え

$a_0 = e^{-2}$

$a_1 = 2e^{-2}$

$a_2 = 2e^{-2}$

$a_{11} = e^{-2}/2$

$a_{12} = e^{-2}$

$a_{22} = e^{-2}/2$