5枚の硬貨を同時に投げるとき、裏の出る枚数を確率変数 $X$ とする。$X$ の確率分布を求め、確率 $P(X \ge 2)$ を求める。

1. 問題の内容

5枚の硬貨を同時に投げるとき、裏の出る枚数を確率変数 $X$ とする。$X$ の確率分布を求め、確率 $P(X \ge 2)$ を求める。

2. 解き方の手順

硬貨を1枚投げたとき、裏が出る確率は $\frac{1}{2}$ である。

5枚の硬貨を投げたとき、裏が出る枚数 $X$ は二項分布 $B(5, \frac{1}{2})$ に従う。

$X = k$ となる確率は、

$P(X=k) = {}_5C_k \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{5-k} = {}_5C_k \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{{}_5C_k}{32}$

ここで、$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ である。

したがって、$X$ の確率分布は以下のようになる。

$P(X=0) = \frac{{}_5C_0}{32} = \frac{1}{32}$

$P(X=1) = \frac{{}_5C_1}{32} = \frac{5}{32}$

$P(X=2) = \frac{{}_5C_2}{32} = \frac{10}{32}$

$P(X=3) = \frac{{}_5C_3}{32} = \frac{10}{32}$

$P(X=4) = \frac{{}_5C_4}{32} = \frac{5}{32}$

$P(X=5) = \frac{{}_5C_5}{32} = \frac{1}{32}$

次に、$P(X \ge 2)$ を求める。

$P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))$

$P(X \ge 2) = 1 - \left(\frac{1}{32} + \frac{5}{32}\right) = 1 - \frac{6}{32} = \frac{26}{32} = \frac{13}{16}$

3. 最終的な答え

$X$ の確率分布：

$P(X=0) = \frac{1}{32}$

$P(X=1) = \frac{5}{32}$

$P(X=2) = \frac{10}{32}$

$P(X=3) = \frac{10}{32}$

$P(X=4) = \frac{5}{32}$

$P(X=5) = \frac{1}{32}$

$P(X \ge 2) = \frac{13}{16}$