整数 $n$ について、命題「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」を、対偶を考えることによって証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、命題「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」を、対偶を考えることによって証明する。

2. 解き方の手順

与えられた命題の対偶を考える。元の命題が真であることと、その対偶が真であることは同値である。

元の命題は「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」であるから、その対偶は「$n$ が奇数ならば、$3n$ は奇数である」となる。

対偶が真であることを証明する。

$n$が奇数であると仮定する。

このとき、$n$はある整数$k$を用いて、$n = 2k + 1$と表せる。

$3n$を計算すると、

$3n = 3(2k+1) = 6k + 3 = 2(3k+1) + 1$

ここで、$3k+1$は整数であるから、$3n$は奇数である。

したがって、$n$が奇数ならば、$3n$は奇数である。これは元の命題の対偶である。

対偶が真であるから、元の命題「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

「$3n$ が偶数ならば、$n$ は偶数である」は真である。