△ABCにおいて、以下の問題を解きます。 (1) $a=7, A=30^\circ$のとき、外接円の半径$R$を正弦定理で求める。 (2) $a=8, A=45^\circ, B=60^\circ$のとき、辺ACの長さ$b$を正弦定理で求める。 (3) $c=\sqrt{2}, b=3, A=45^\circ$のとき、辺BCの長さ$a$を余弦定理で求める。 (4) $b=3, c=4, A=30^\circ$のとき、△ABCの面積$S$を求める。

1. 問題の内容

△ABCにおいて、以下の問題を解きます。

(1) $a=7, A=30^\circ$のとき、外接円の半径$R$を正弦定理で求める。

(2) $a=8, A=45^\circ, B=60^\circ$のとき、辺ACの長さ$b$を正弦定理で求める。

(3) $c=\sqrt{2}, b=3, A=45^\circ$のとき、辺BCの長さ$a$を余弦定理で求める。

(4) $b=3, c=4, A=30^\circ$のとき、△ABCの面積$S$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = 2R$

$R = \frac{a}{2\sin A}$

$a=7, A=30^\circ$を代入すると、

$R = \frac{7}{2\sin 30^\circ} = \frac{7}{2 \times \frac{1}{2}} = 7$

(2) 正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$b = \frac{a\sin B}{\sin A}$

$a=8, A=45^\circ, B=60^\circ$を代入すると、

$b = \frac{8\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{6}$

(3) 余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \times 3 \times \sqrt{2} \times \cos 45^\circ$

$a^2 = 9 + 2 - 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 11 - 6 = 5$

$a = \sqrt{5}$

(4) 面積の公式より、

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$

$b=3, c=4, A=30^\circ$を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 3$

3. 最終的な答え

(1) $R=7$

(2) $b = 4\sqrt{6}$

(3) $a = \sqrt{5}$

(4) $S = 3$