4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。条件 $a \ge b > c > d$ を満たす $n$ は全部で何個あるかを求める問題です。

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。条件 $a \ge b > c > d$ を満たす $n$ は全部で何個あるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a, b, c, d$ は $0$ から $9$ までの整数であり、$a$ は $0$ ではありません。また、$a \ge b > c > d$ という条件があります。

$0$から$9$の10個の数字から、$d$を含む異なる4つの数字を選びます。

その選び方は $_{10}C_4$ 通りです。

選んだ4つの数字を、$x_1 > x_2 > x_3 > x_4$ とします。

このとき、$d = x_4, c = x_3$ が決まります。

$b$ は $x_2$ に決まります。

$a$ は $x_1$ か、それより小さい数字を取ることができます。

ここで、$a=b$の場合を考慮する必要があります。

$x_1$を選んだ時、$a=x_1$とするのは問題ありません。

例えば選んだ数字が $3, 1, 0$ であれば、$a = 3$, $b = 3$, $c = 1$, $d = 0$ という組み合わせが考えられます。

$a \ge b > c > d$ となれば良いので、$a=b$の場合もOKです。

よって、$a, b, c, d$として使える数字は$0$から$9$までの数字です。

また$a$は0以外です。

$0 \le d < c < b \le a \le 9$ という条件を満たす整数の組み合わせを考えます。

これは $0 \le d < c < b \le a \le 9$ を $0 \le d < c < b \le a \le 9$ と同じように $x_1 = d, x_2 = c, x_3 = b, x_4 = a$ と定義し、

$0 \le x_1 < x_2 < x_3 \le 9$ となる $x_1, x_2, x_3$ を選ぶことに相当します。

$a \ge b > c > d$ を満たすように、$0$ から $9$ までの異なる $4$ つの数字を選び、それらを小さい順に $d, c, b, a$ と対応させます。

このとき、$a$ は $0$ であってはならないので、$0$ を含めた $5$ つの数字から $4$ つを選ぶ組み合わせを考えます。

$0$ から $9$ までの $10$ 個の数字から、重複を許して $4$ 個を選ぶ組み合わせを考えます。

このとき、選んだ $4$ 個の数字を $d \le c < b \le a$ となるように並べます。

ここで $d, c, b, a$ はすべて $0$ 以上の整数なので、

$d' = d, c' = c+1, b' = b+2, a' = a+2$ とすると、$0 \le d' < c' < b' < a' \le 9$ となります。

$d, c, b, a$ の選び方の数は、 $10$ 個の数字から重複を許して $4$ 個を選ぶ組み合わせの数に等しく、

$\binom{10+4-1}{4} = \binom{13}{4}$ となります。

$d \le c < b \le a$なので$a$が$0$にはなりません。$a$がゼロにならないので$10個から4個を選びます。

$0 \le d < c < b \le a \le 9$ を $0 \le d < c < b < a+1 \le 10$ と書き換えます。

$0, 1, 2, \dots, 10$ の $11$ 個の整数から $4$ 個の整数 $d, c, b, a+1$ を選ぶ場合の数は、$\binom{11}{4}$ です。

$\binom{11}{4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330$

3. 最終的な答え

330