この問題は、以下の4つのパートに分かれています。 (1) $ln(1.2)$, $tan(0.3)$, $\sqrt[3]{30}$ の一次近似を求める。 (2) $x \gg \Delta x$ の条件下で $\sqrt[3]{\frac{x}{\sqrt{x-\Delta x}}}$ の近似式を求め、$(\Delta x)^2$ 以下の項を無視する。 (3) 双曲線関数 $sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ が定義されているとき、$sinh(i\theta)$ と $cosh(i\theta)$ を三角関数($sin\theta$, $cos\theta$, $tan\theta$)を用いて表す。 (4) 極限 $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{sin x}$ と $\lim_{x\to \infty} x^2(1-cos(\frac{1}{x}))$ を求める。

1. 問題の内容

この問題は、以下の4つのパートに分かれています。

(1) $ln(1.2)$, $tan(0.3)$, $\sqrt[3]{30}$ の一次近似を求める。

(2) $x \gg \Delta x$ の条件下で $\sqrt[3]{\frac{x}{\sqrt{x-\Delta x}}}$ の近似式を求め、$(\Delta x)^2$ 以下の項を無視する。

(3) 双曲線関数 $sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ が定義されているとき、$sinh(i\theta)$ と $cosh(i\theta)$ を三角関数($sin\theta$, $cos\theta$, $tan\theta$)を用いて表す。

(4) 極限 $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{sin x}$ と $\lim_{x\to \infty} x^2(1-cos(\frac{1}{x}))$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 一次近似:

関数 $f(x)$ の $x=a$ における一次近似は $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ で与えられます。

(1-1) $f(x) = ln(x)$, $a=1$, $x=1.2$, $f'(x) = \frac{1}{x}$

$f(1) = ln(1) = 0$, $f'(1) = 1$

$ln(1.2) \approx 0 + 1(1.2-1) = 0.2$

(1-2) $f(x) = tan(x)$, $a=0$, $x=0.3$, $f'(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$

$f(0) = tan(0) = 0$, $f'(0) = \frac{1}{cos^2(0)} = 1$

$tan(0.3) \approx 0 + 1(0.3-0) = 0.3$

(1-3) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $a=27$, $x=30$, $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$

$f(27) = \sqrt[3]{27} = 3$, $f'(27) = \frac{1}{3}(27)^{-2/3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}$

$\sqrt[3]{30} \approx 3 + \frac{1}{27}(30-27) = 3 + \frac{3}{27} = 3 + \frac{1}{9} = \frac{28}{9} \approx 3.11$

(2) $\sqrt[3]{\frac{x}{\sqrt{x-\Delta x}}}$ の近似：

$\sqrt{x-\Delta x} = \sqrt{x(1-\frac{\Delta x}{x})} = \sqrt{x}(1-\frac{\Delta x}{x})^{1/2} \approx \sqrt{x}(1-\frac{1}{2}\frac{\Delta x}{x})$

$\frac{x}{\sqrt{x-\Delta x}} \approx \frac{x}{\sqrt{x}(1-\frac{1}{2}\frac{\Delta x}{x})} = \sqrt{x} (1-\frac{1}{2}\frac{\Delta x}{x})^{-1} \approx \sqrt{x} (1+\frac{1}{2}\frac{\Delta x}{x})$

$(\frac{x}{\sqrt{x-\Delta x}})^{1/3} \approx (x^{1/2}(1+\frac{1}{2}\frac{\Delta x}{x}))^{1/3} = x^{1/6} (1+\frac{1}{2}\frac{\Delta x}{x})^{1/3} \approx x^{1/6} (1+\frac{1}{6}\frac{\Delta x}{x})$

したがって、$\sqrt[3]{\frac{x}{\sqrt{x-\Delta x}}} \approx x^{1/6} + \frac{1}{6}x^{-5/6}\Delta x$

(3) $sinh(i\theta)$ と $cosh(i\theta)$ を三角関数で表す：

$sinh(i\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2} = \frac{(cos\theta + i sin\theta) - (cos\theta - i sin\theta)}{2} = \frac{2i sin\theta}{2} = i sin\theta$

$cosh(i\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} = \frac{(cos\theta + i sin\theta) + (cos\theta - i sin\theta)}{2} = \frac{2 cos\theta}{2} = cos\theta$

(4) 極限の計算：

(4-1) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{sin x}$:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ...$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - ...$

$e^x - e^{-x} = 2x + \frac{2x^3}{3!} + ...$

$sin x = x - \frac{x^3}{3!} + ...$

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{2x + \frac{2x^3}{3!} + ...}{x - \frac{x^3}{3!} + ...} = \lim_{x\to 0} \frac{2 + \frac{2x^2}{3!} + ...}{1 - \frac{x^2}{3!} + ...} = \frac{2}{1} = 2$

(4-2) $\lim_{x\to \infty} x^2(1-cos(\frac{1}{x}))$:

$cos(y) = 1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - ...$

$cos(\frac{1}{x}) = 1 - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{24x^4} - ...$

$1 - cos(\frac{1}{x}) = \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{24x^4} + ...$

$x^2(1 - cos(\frac{1}{x})) = x^2(\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{24x^4} + ...) = \frac{1}{2} - \frac{1}{24x^2} + ...$

$\lim_{x\to \infty} x^2(1-cos(\frac{1}{x})) = \lim_{x\to \infty} (\frac{1}{2} - \frac{1}{24x^2} + ...) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1)

ln(1.2) ≈ 0.2

tan(0.3) ≈ 0.3

$\sqrt[3]{30}$ ≈ 28/9 ≈ 3.11

(2)

$\sqrt[3]{\frac{x}{\sqrt{x-\Delta x}}} \approx x^{1/6} + \frac{1}{6}x^{-5/6}\Delta x$

(3)

$sinh(i\theta) = i sin\theta$

$cosh(i\theta) = cos\theta$

(4)

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{sin x} = 2$

$\lim_{x\to \infty} x^2(1-cos(\frac{1}{x})) = \frac{1}{2}$