与えられた6つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int (5x-2)^6 dx$ (2) $\int (2x+1)^3 dx$ (3) $\int (x+3)^{-2} dx$ (4) $\int \sqrt{3x-5} dx$ (5) $\int \frac{4}{(2x+7)^3} dx$ (6) $\int \frac{5}{\sqrt{3x-2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int (5x-2)^6 dx$

(2) $\int (2x+1)^3 dx$

(3) $\int (x+3)^{-2} dx$

(4) $\int \sqrt{3x-5} dx$

(5) $\int \frac{4}{(2x+7)^3} dx$

(6) $\int \frac{5}{\sqrt{3x-2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $5x-2 = u$ と置換すると、$5 dx = du$ より $dx = \frac{1}{5} du$ となります。

$\int (5x-2)^6 dx = \int u^6 \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^6 du = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^7}{7} + C = \frac{(5x-2)^7}{35} + C$

(2) $2x+1 = u$ と置換すると、$2 dx = du$ より $dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int (2x+1)^3 dx = \int u^3 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{(2x+1)^4}{8} + C$

(3) $x+3 = u$ と置換すると、$dx = du$ となります。

$\int (x+3)^{-2} dx = \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{x+3} + C$

(4) $3x-5 = u$ と置換すると、$3 dx = du$ より $dx = \frac{1}{3} du$ となります。

$\int \sqrt{3x-5} dx = \int \sqrt{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{1/2} du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{9} u^{3/2} + C = \frac{2}{9} (3x-5)^{3/2} + C$

(5) $2x+7 = u$ と置換すると、$2 dx = du$ より $dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int \frac{4}{(2x+7)^3} dx = \int \frac{4}{u^3} \frac{1}{2} du = 2 \int u^{-3} du = 2 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{u^2} + C = -\frac{1}{(2x+7)^2} + C$

(6) $3x-2 = u$ と置換すると、$3 dx = du$ より $dx = \frac{1}{3} du$ となります。

$\int \frac{5}{\sqrt{3x-2}} dx = \int \frac{5}{\sqrt{u}} \frac{1}{3} du = \frac{5}{3} \int u^{-1/2} du = \frac{5}{3} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \frac{10}{3} \sqrt{u} + C = \frac{10}{3} \sqrt{3x-2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(5x-2)^7}{35} + C$

(2) $\frac{(2x+1)^4}{8} + C$

(3) $-\frac{1}{x+3} + C$

(4) $\frac{2}{9}(3x-5)^{3/2} + C$

(5) $-\frac{1}{(2x+7)^2} + C$

(6) $\frac{10}{3}\sqrt{3x-2} + C$