定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2+3}{x^2+1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2+3}{x^2+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

$\frac{x^2+3}{x^2+1} = \frac{x^2+1+2}{x^2+1} = 1 + \frac{2}{x^2+1}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+3}{x^2+1} dx = \int_{0}^{1} (1 + \frac{2}{x^2+1}) dx$

定積分の性質より、

$\int_{0}^{1} (1 + \frac{2}{x^2+1}) dx = \int_{0}^{1} 1 dx + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx$

$\int_{0}^{1} 1 dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan(x)]_{0}^{1} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

よって、

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+3}{x^2+1} dx = 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$1 + \frac{\pi}{2}$