与えられた微分方程式 $y' + \frac{x^2 - y^2}{2xy} = 0$ の一般解を求める。

## (a) の問題

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' + \frac{x^2 - y^2}{2xy} = 0$ の一般解を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を整理する。

$y' = -\frac{x^2 - y^2}{2xy} = \frac{y^2 - x^2}{2xy}$

これは同次形微分方程式なので、$y = vx$ とおき、変数変換を行う。

すると、$y' = v'x + v$ となる。

これらを代入すると、

$v'x + v = \frac{(vx)^2 - x^2}{2x(vx)} = \frac{v^2x^2 - x^2}{2vx^2} = \frac{v^2 - 1}{2v}$

$v'x = \frac{v^2 - 1}{2v} - v = \frac{v^2 - 1 - 2v^2}{2v} = \frac{-v^2 - 1}{2v}$

$\frac{dv}{dx}x = -\frac{v^2 + 1}{2v}$

$\frac{2v}{v^2 + 1} dv = -\frac{dx}{x}$

両辺を積分する。

$\int \frac{2v}{v^2 + 1} dv = \int -\frac{dx}{x}$

$\ln(v^2 + 1) = -\ln|x| + C_1$ （$C_1$は積分定数）

$\ln(v^2 + 1) + \ln|x| = C_1$

$\ln((v^2 + 1)|x|) = C_1$

$(v^2 + 1)|x| = e^{C_1} = C$ (C は積分定数)

$v = \frac{y}{x}$を代入する。

$(\frac{y^2}{x^2} + 1)|x| = C$

$\frac{y^2 + x^2}{x^2}|x| = C$

$y^2 + x^2 = Cx$

$x^2 - Cx + y^2 = 0$

$(x - \frac{C}{2})^2 + y^2 = (\frac{C}{2})^2$

3. 最終的な答え

$(x - \frac{C}{2})^2 + y^2 = (\frac{C}{2})^2$ (Cは積分定数)

あるいは

$x^2 - Cx + y^2 = 0$ (Cは積分定数)

## (b) の問題

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' - \frac{2xy}{x^2 - y^2} = 0$ の一般解を求める。

2. 解き方の手順

$y' = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$

同次形微分方程式なので、$y = vx$ とおき、変数変換を行う。

すると、$y' = v'x + v$ となる。

これらを代入すると、

$v'x + v = \frac{2x(vx)}{x^2 - (vx)^2} = \frac{2vx^2}{x^2 - v^2x^2} = \frac{2v}{1 - v^2}$

$v'x = \frac{2v}{1 - v^2} - v = \frac{2v - v + v^3}{1 - v^2} = \frac{v + v^3}{1 - v^2}$

$\frac{dv}{dx}x = \frac{v(1 + v^2)}{1 - v^2}$

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} dv = \frac{dx}{x}$

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} = \frac{A}{v} + \frac{Bv + C}{1 + v^2}$ と部分分数分解する。

$1 - v^2 = A(1 + v^2) + (Bv + C)v = A + Av^2 + Bv^2 + Cv = (A + B)v^2 + Cv + A$

$A + B = -1, C = 0, A = 1$

$B = -2$

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} = \frac{1}{v} - \frac{2v}{1 + v^2}$

$\int (\frac{1}{v} - \frac{2v}{1 + v^2}) dv = \int \frac{dx}{x}$

$\ln|v| - \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C_1$

$\ln|\frac{v}{1 + v^2}| = \ln|x| + C_1$

$\frac{v}{1 + v^2} = Cx$ (C は積分定数)

$v = \frac{y}{x}$を代入する。

$\frac{y/x}{1 + y^2/x^2} = Cx$

$\frac{y/x}{(x^2 + y^2)/x^2} = Cx$

$\frac{yx}{x^2 + y^2} = Cx$

$yx = Cx(x^2 + y^2)$

$y = C(x^2 + y^2)$

$C(x^2 + y^2) - y = 0$

3. 最終的な答え

$C(x^2 + y^2) - y = 0$ (Cは積分定数)

## (c) の問題

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $xy' - y - \sqrt{x^2 + y^2} = 0$ の一般解を求める。

2. 解き方の手順

$xy' = y + \sqrt{x^2 + y^2}$

$y' = \frac{y + \sqrt{x^2 + y^2}}{x}$

同次形微分方程式なので、$y = vx$ とおき、変数変換を行う。

すると、$y' = v'x + v$ となる。

これらを代入すると、

$v'x + v = \frac{vx + \sqrt{x^2 + (vx)^2}}{x} = \frac{vx + \sqrt{x^2 + v^2x^2}}{x} = \frac{vx + |x|\sqrt{1 + v^2}}{x}$

$v'x = \frac{vx + |x|\sqrt{1 + v^2}}{x} - v = \frac{|x|\sqrt{1 + v^2}}{x}$

$x > 0$ のとき、$v'x = \sqrt{1 + v^2}$

$\frac{dv}{dx}x = \sqrt{1 + v^2}$

$\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int \frac{dx}{x}$

$\sinh^{-1}(v) = \ln|x| + C_1$

$v = \sinh(\ln|x| + C_1) = \sinh(\ln x + C_1)$

$\frac{y}{x} = \sinh(\ln x + C_1)$

$y = x \sinh(\ln x + C_1)$

$y = x \sinh(\ln x + C)$

$x < 0$ のとき、$v'x = -\sqrt{1 + v^2}$

$\frac{dv}{dx}x = -\sqrt{1 + v^2}$

$\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = -\frac{dx}{x}$

$\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \int -\frac{dx}{x}$

$\sinh^{-1}(v) = -\ln|x| + C_1$

$v = \sinh(-\ln|x| + C_1) = \sinh(-\ln(-x) + C_1)$

$\frac{y}{x} = \sinh(-\ln(-x) + C_1)$

$y = x \sinh(-\ln(-x) + C_1)$

$y = x \sinh(-\ln(-x) + C)$

3. 最終的な答え

$y = x \sinh(\ln|x| + C)$ (Cは積分定数)