与えられた極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x + \sin x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x^2 + x}$ (7) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$ (10) $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\tan x - \sqrt{3}}{\sin (x - \frac{\pi}{3})}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x + \sin x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x^2 + x}$

(7) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$

(10) $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\tan x - \sqrt{3}}{\sin (x - \frac{\pi}{3})}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x + \sin x}$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x + \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x + \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x (x + \sin x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いるために、分母分子を $x$ で割る。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x (1 + \frac{\sin x}{x})} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}}{\lim_{x \to 0} \cos x \cdot \lim_{x \to 0} (1 + \frac{\sin x}{x})} = \frac{1}{1 \cdot (1 + 1)} = \frac{1}{2}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x^2 + x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x^2 + x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x(x+1)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{x} = a$ を用いるために、分母分子を $x$ で割る。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{2x} - 1}{x}}{x+1} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}}{\lim_{x \to 0} (x+1)} = \frac{2}{0 + 1} = 2$

(7) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$ を用いるために、分母分子を $x$ で割る。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 5x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5}{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{5}{2}$

(10) $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\tan x - \sqrt{3}}{\sin (x - \frac{\pi}{3})}$

$t = x - \frac{\pi}{3}$ と置くと、$x \to \frac{\pi}{3}$ のとき $t \to 0$。 $x = t + \frac{\pi}{3}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\tan (t + \frac{\pi}{3}) - \sqrt{3}}{\sin t}$

$\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$ を用いる。

$\tan (t + \frac{\pi}{3}) = \frac{\tan t + \tan \frac{\pi}{3}}{1 - \tan t \tan \frac{\pi}{3}} = \frac{\tan t + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{\tan t + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan t} - \sqrt{3}}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \frac{\tan t + \sqrt{3} - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3} \tan t)}{\sin t (1 - \sqrt{3} \tan t)} = \lim_{t \to 0} \frac{\tan t + \sqrt{3} \tan^2 t}{\sin t (1 - \sqrt{3} \tan t)}$

$= \lim_{t \to 0} \frac{\frac{\tan t}{\sin t} (1 + \sqrt{3} \tan t)}{1 - \sqrt{3} \tan t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{\cos t} (1 + \sqrt{3} \tan t)}{1 - \sqrt{3} \tan t} = \frac{\frac{1}{1} (1 + 0)}{1 - 0} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(4) $2$

(7) $\frac{5}{2}$

(10) $1$