(1) 一般角 $\theta$ に対して、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の定義を述べる。 (2) (1) で述べた定義に基づいて、一般角 $\alpha$, $\beta$ に対して、以下の加法定理を証明する。 $\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}$

1. 問題の内容

(1) 一般角 $\theta$ に対して、$\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の定義を述べる。

(2) (1) で述べた定義に基づいて、一般角 $\alpha$, $\beta$ に対して、以下の加法定理を証明する。

$\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}$

2. 解き方の手順

(1) 一般角 $\theta$ に対する $\sin{\theta}$ と $\cos{\theta}$ の定義

単位円を考える。原点を中心とする半径1の円を単位円と呼ぶ。

$\theta$ を実数とし、単位円周上の点 P を、点 (1,0) から円周に沿って反時計回りに $\theta$ だけ進んだ点とする。このとき、点 P の座標を (x, y) とすると、

$\cos{\theta} = x$

$\sin{\theta} = y$

と定義する。

(2) 加法定理の証明

複素数を用いて証明する。オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$ を用いる。

$e^{i(\alpha + \beta)} = \cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)$

一方、

$e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha} e^{i\beta} = (\cos{\alpha} + i\sin{\alpha})(\cos{\beta} + i\sin{\beta})$

$= \cos{\alpha}\cos{\beta} + i\cos{\alpha}\sin{\beta} + i\sin{\alpha}\cos{\beta} + i^2\sin{\alpha}\sin{\beta}$

$= (\cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}) + i(\sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta})$

したがって、

$\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta) = (\cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}) + i(\sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta})$

実部と虚部を比較すると、

$\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}$

これで加法定理が証明された。

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha + \beta) = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta}$