自然数 $N$ が与えられており、$3N$ を 5 で割ると 4 余り、$N+1$ を 7 で割ると割り切れるという条件のもとで、$N$ を 35 で割ったときの余りを、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

自然数 $N$ が与えられており、$3N$ を 5 で割ると 4 余り、$N+1$ を 7 で割ると割り切れるという条件のもとで、$N$ を 35 で割ったときの余りを、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$3N$ を 5 で割ると 4 余るという条件から、$3N = 5k + 4$（$k$ は整数）と表すことができます。

この式を変形して $N$ を求めます。

$3N = 5k + 4$ より、$N = \frac{5k+4}{3}$ となります。

$N$ は整数なので、$5k+4$ は 3 の倍数である必要があります。

$5k+4 = 3m$ （$m$ は整数）とすると、$5k = 3m - 4$ です。

ここで、$k$ をいくつか試して、$5k+4$ が 3 の倍数になるような最小の $k$ を探します。

$k=2$ のとき、$5k+4 = 5(2) + 4 = 14$ (3の倍数ではない)

$k=5$ のとき、$5k+4 = 5(5) + 4 = 29$ (3の倍数ではない)

$k=8$ のとき、$5k+4 = 5(8) + 4 = 44$ (3の倍数ではない)

$k=1$ のとき、$5k+4=9$となり、3の倍数。

したがって、$k = 3n+1$ ($n$は整数)となります。

$k=1$ のとき、$N = \frac{5(1)+4}{3} = \frac{9}{3} = 3$ となります。

また、$N+1$ が 7 で割り切れるので、$N+1 = 7l$（$l$ は整数）と表せます。したがって、$N = 7l - 1$ です。

$N$ を求める式は、$N = 3$, $N= 7l - 1$の2つあります。

$N = \frac{5k+4}{3}$より、$N = \frac{5(3n+1)+4}{3} = \frac{15n+5+4}{3} = \frac{15n+9}{3} = 5n+3$

$N= 5n+3$と、$N = 7l - 1$より、$5n+3 = 7l-1$ つまり、$5n+4 = 7l$となります。

$n$をいくつか試して、$5n+4$ が 7 で割り切れるような最小の $n$ を探します。

$n = 2$ のとき、$5(2) + 4 = 14$となり、7の倍数です。

したがって、$n=2$のとき、$N = 5(2)+3 = 13$となります。

$n = 7p+2$（$p$は整数）

$N = 5(7p+2)+3 = 35p + 10+3 = 35p + 13$

$N$ を 35 で割ったときの余りは、$35p + 13$ より 13 となります。

3. 最終的な答え

13