二つの有界な数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられています。ただし、任意の自然数 $n$ に対して、$b_n \neq 0$ であるとします。このとき、以下の二つの命題が正しいかどうかを判定し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げてください。 (1) 数列 $\{a_n b_n\}$ も有界列である。 (2) 数列 $\{a_n / b_n\}$ も有界列である。

1. 問題の内容

二つの有界な数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられています。ただし、任意の自然数 $n$ に対して、$b_n \neq 0$ であるとします。このとき、以下の二つの命題が正しいかどうかを判定し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げてください。

(1) 数列 $\{a_n b_n\}$ も有界列である。

(2) 数列 $\{a_n / b_n\}$ も有界列である。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n b_n\}$ の有界性について：

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が有界であるという仮定から、ある正の数 $M_1$ と $M_2$ が存在して、すべての $n$ に対して $|a_n| \le M_1$ かつ $|b_n| \le M_2$ が成り立ちます。

このとき、$|a_n b_n| = |a_n| |b_n| \le M_1 M_2$ がすべての $n$ に対して成り立ちます。したがって、数列 $\{a_n b_n\}$ は有界です。

(2) 数列 $\{a_n / b_n\}$ の有界性について：

数列 $\{a_n\}$ が有界であることはわかっていますが、数列 $\{b_n\}$ が0に近づく可能性があるため、$\{a_n / b_n\}$ が有界であるとは限りません。反例を挙げます。

$a_n = 1$ （これは有界な数列です。例えば、$|a_n| \le 1$）

$b_n = 1/n$ (これは有界な数列です。例えば、$|b_n| \le 1$)

このとき、$a_n / b_n = 1 / (1/n) = n$ となり、これは有界な数列ではありません。$n$ が大きくなるにつれて、$n$ も大きくなり続けるからです。

3. 最終的な答え

(1) 数列 $\{a_n b_n\}$ は有界列である。証明は上記の通り。

(2) 数列 $\{a_n / b_n\}$ は有界列であるとは限らない。反例は、$a_n = 1$ , $b_n = 1/n$ のとき、$a_n / b_n = n$ となり、これは有界ではない。