(1) 2つの関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、それらの和の関数 $f+g$ が $x=0$ で連続ならば、$f$ も $g$ も $x=0$ で連続であるか。 (2) $A = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0\}$ 上の連続関数 $f: A \to \mathbb{R}$ について、関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を $ g(x) = \begin{cases} xf(x) & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases} $ と定義すると、$g$ は $x=0$ で連続であるか。

1. 問題の内容

(1) 2つの関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ について、それらの和の関数 $f+g$ が $x=0$ で連続ならば、$f$ も $g$ も $x=0$ で連続であるか。

(2) $A = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0\}$ 上の連続関数 $f: A \to \mathbb{R}$ について、関数 $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を

$g(x) = \begin{cases} xf(x) & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$

と定義すると、$g$ は $x=0$ で連続であるか。

2. 解き方の手順

(1) この命題は正しくありません。反例を挙げます。

$f(x) = \begin{cases} 1 & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$

$g(x) = -f(x) = \begin{cases} -1 & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$

とすると、$f(x)$ と $g(x)$ は $x=0$ で不連続です。なぜなら、$\lim_{x \to 0} f(x) = 1 \neq f(0) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} g(x) = -1 \neq g(0) = 0$ だからです。

しかし、$f(x) + g(x) = 0$ なので、$f(x) + g(x)$ は定数関数であり、$x=0$ で連続です。

(2) $g$ が $x=0$ で連続であることを示すには、$\lim_{x \to 0} g(x) = g(0)$ であることを示せば良いです。

$g(0) = 0$ です。

$x \neq 0$ のとき、$g(x) = xf(x)$ です。

$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} xf(x)$ を考えます。

$f$ は $A = \{x \in \mathbb{R} | x \neq 0\}$ 上の連続関数であることから、$x$ が 0 に近づくとき、$f(x)$ は有限の値に収束するか、発散する可能性があります。

しかし、$g(x) = xf(x)$ であるため、$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} xf(x) = 0$ となります。

なぜなら、$x$ が 0 に近づくとき、$f(x)$ がどんな値を取ろうとも、$x$ が 0 に近づくことによって、積 $xf(x)$ は 0 に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to 0} g(x) = 0 = g(0)$ となり、$g$ は $x=0$ で連続です。

3. 最終的な答え

(1) 正しくない。反例は $f(x) = \begin{cases} 1 & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$ と $g(x) = -f(x)$。

(2) 正しい。