3x3の行列式を計算し、その結果が $(a+b+c)$ の何倍になるかを求める問題です。 与えられた行列式は、 $ \begin{vmatrix} a+b+c & -c & -b \\ -c & a+b+c & -a \\ -b & -a & a+b+c \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

3x3の行列式を計算し、その結果が $(a+b+c)$ の何倍になるかを求める問題です。

与えられた行列式は、

$$

\begin{vmatrix}

a+b+c & -c & -b \\

-c & a+b+c & -a \\

-b & -a & a+b+c

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算します。

1行目に2行目と3行目を加えると、1行目は $(a, a, a)$ になります。

$$

\begin{vmatrix}

a+b+c & -c & -b \\

-c & a+b+c & -a \\

-b & -a & a+b+c

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

a & a & a \\

-c & a+b+c & -a \\

-b & -a & a+b+c

\end{vmatrix}

$$

次に、$a$ をくくり出して、

$$

a

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

-c & a+b+c & -a \\

-b & -a & a+b+c

\end{vmatrix}

$$

1列目を基準に、2列目から1列目を、3列目から1列目を引くと、

$$

a

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 \\

-c & a+b+2c & c-a \\

-b & b-a & a+b+2b

\end{vmatrix}

= a

\begin{vmatrix}

a+b+2c & c-a \\

b-a & a+b+2b

\end{vmatrix}

$$

$= a[(a+b+2c)(a+b+2b) - (c-a)(b-a)]$

$= a[a^2+ab+2ab+ab+b^2+2b^2+2ac+2bc+4bc - (bc-ab-ac+a^2)]$

$= a[a^2+2ab+2ac+ab+b^2+4bc+2b^2 -(bc-ab-ac+a^2)]$

$= a[a^2+2ab+2ac+ab+b^2+4bc+2b^2 - bc+ab+ac-a^2]$

$= a[4ab+3ac+b^2+3bc+2b^2] = a[4ab+3ac+b^2+3bc+2b^2] = a(4ab + 3ac + 3bc + b^2 + 2b^2) = a(3a(b+c)+3bc-ab+ab+b^2+2c^2)$

$= a[3ab + 3ac + 3bc + b^2 ]$

1行目からaを括り出した後、2列目から1列目を引き、3列目から1列目を引く。

$$

a

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 \\

-c & a+b+2c & c-a \\

-b & b-a & a+b+2b

\end{vmatrix} = a \cdot [ (a+b+2c)(a+b+2b) - (b-a)(c-a) ]

$$

$ = a [ (a+b)^2 + 2b(a+b) + 2c(a+b) + 4bc - (bc - ab - ac + a^2)]

$$

$ = a [ a^2 + 2ab + b^2 + 2ab + 2b^2 + 2ac + 2bc + 4bc - bc + ab + ac - a^2 ]

$$

$ = a [ 5ab + 3ac + 3b^2 + 5bc ]

$$

これは$(a+b+c)$の倍数ではないため、他の方法を試してみます。

各列に1列目を足し合わせることで、各列にa+b+cを作ることを試みます。

$$

\begin{vmatrix}

a+b+c & -c & -b \\

-c & a+b+c & -a \\

-b & -a & a+b+c

\end{vmatrix} =

\begin{vmatrix}

a+b+c & a+b & a+c \\

-c & a+b+c & -a \\

-b & -a & a+b+c

\end{vmatrix}

$$

行列式をそのまま展開するのが一番確実です。

$(a+b+c)((a+b+c)^2 - a^2) - (-c)(-c(a+b+c) - ab) + (-b)(ac+b(a+b+c))$

$= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-a^2) + c(ac+bc+c^2+ab) - b(ac+ab+b^2+bc)$

$= (a+b+c)(b^2+c^2+2ab+2bc+2ca) + ac^2 + bc^2 + c^3 + abc - abc -ab^2 -b^3 -b^2c$

$= ab^2+ac^2+2a^2b+2abc+2ca^2 + b^3+bc^2+2ab^2+2b^2c+2abc + cb^2 +c^3+2abc+2bc^2+2c^2a+ ac^2 + bc^2 + c^3 + abc - abc -ab^2 -b^3 -b^2c$

$=4abc + 3ac^2 + 3bc^2+ abc$

$= 3c(b+c)(a+b+c)$

上記展開は正しくない。

もしも、最終的な答えが$3(a+b)(b+c)(c+a)$ なら

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

3倍すると $3 (a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc)$

$3[b^2 + c^2 + 2ab+2bc+2ac]$

3. 最終的な答え

画像から問題文を読み取り、行列式を計算すると

$2(a+b+c)^3 = (a+b+c)((a+b+c)^2 -a^2) +c(ac+bc+c^2+ab) - c(ac+bc+ab) -b(ac+ab+bc)$

もし答えの候補が3ならば、

与えられた行列式は3(a+b+c) に等しくなる。しかし、計算が困難であるため別の方法を試みる必要がありそう。

$a=1, b=0, c=0$とすると、行列式は、

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 * (1*1-(-1*-1)) = 0$

問題文の右辺は、テ*(1+0+0), つまりテ になる

この場合、テ = 0 なので、0が答え。

最終的な答え：0