この問題は、割り算の表現、余りの計算、一次合同式の計算に関する問題です。具体的には、以下の8つの問題を解く必要があります。 1. 216 ÷ 11 を a = bq + r の形で表す（ただし、0 ≤ r < b）。

1. 問題の内容

この問題は、割り算の表現、余りの計算、一次合同式の計算に関する問題です。具体的には、以下の8つの問題を解く必要があります。

1. 216 ÷ 11 を a = bq + r の形で表す（ただし、0 ≤ r < b）。

2. -159 ÷ 13 を a = bq + r の形で表す（ただし、0 ≤ r < b）。

3. 12の100乗を11で割った余りを求める。

4. 5の100乗と3の100乗の和を8で割った余りを求める。

5. 3の200乗と2の100乗の和を7で割った余りを求める。

6. 6x ≡ 5 (mod 7) を解く。

7. 9x ≡ 7 (mod 13) を解く。

8. 5x ≡ 8 (mod 11) を解く。

2. 解き方の手順

1. 216 ÷ 11:

216 を 11 で割ると、商は 19 で余りは 7 です。したがって、$216 = 11 \times 19 + 7$ と表せます。

2. -159 ÷ 13:

-159 を 13 で割ると、-159 = 13 * (-13) + 10 となります。

3. 12の100乗を11で割った余り:

$12 \equiv 1 \pmod{11}$ なので、$12^{100} \equiv 1^{100} \equiv 1 \pmod{11}$

したがって、余りは1です。

4. 5の100乗と3の100乗の和を8で割った余り:

$5^2 \equiv 25 \equiv 1 \pmod{8}$ なので、$5^{100} \equiv (5^2)^{50} \equiv 1^{50} \equiv 1 \pmod{8}$

$3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod{8}$ なので、$3^{100} \equiv (3^2)^{50} \equiv 1^{50} \equiv 1 \pmod{8}$

したがって、$5^{100} + 3^{100} \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{8}$

余りは2です。

5. 3の200乗と2の100乗の和を7で割った余り:

$3^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7}$, $3^3 \equiv 27 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$

$3^6 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod{7}$

$3^{200} = 3^{6 \times 33 + 2} = (3^6)^{33} \times 3^2 \equiv 1^{33} \times 2 \equiv 2 \pmod{7}$

$2^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

$2^{100} = 2^{3 \times 33 + 1} = (2^3)^{33} \times 2 \equiv 1^{33} \times 2 \equiv 2 \pmod{7}$

したがって、$3^{200} + 2^{100} \equiv 2 + 2 \equiv 4 \pmod{7}$

余りは4です。

6. 6x ≡ 5 (mod 7):

6x ≡ 5 (mod 7)

-x ≡ 5 (mod 7)

x ≡ -5 ≡ 2 (mod 7)

x = 2

7. 9x ≡ 7 (mod 13):

9x ≡ 7 (mod 13)

3*9x ≡ 3*7 (mod 13)

27x ≡ 21 (mod 13)

x ≡ 8 (mod 13)

x = 8

8. 5x ≡ 8 (mod 11):

5x ≡ 8 (mod 11)

9*5x ≡ 9*8 (mod 11)

45x ≡ 72 (mod 11)

x ≡ 6 (mod 11)

x = 6

3. 最終的な答え

1. 216 = 11 × 19 + 7

2. -159 = 13 × (-13) + 10

3. 1

4. 2

5. 4

6. x = 2

7. x = 8

8. x = 6