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与えられた行列の逆行列を求める問題です。つまり、行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 5 & 24 & 4 \\ 1 & 5 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、$A^{-1}$ を求めます。

代数学線形代数行列逆行列掃き出し法
2025/6/13

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を求める問題です。つまり、行列 A=[1515244152]A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 1 \\ 5 & 24 & 4 \\ 1 & 5 & 2 \end{bmatrix} に対して、A−1A^{-1} を求めます。

2. 解き方の手順

逆行列を求める一般的な手順は、掃き出し法を用いることです。与えられた行列AAに単位行列IIを並べた拡大行列[A∣I][A|I]を作り、基本変形を繰り返して[I∣A−1][I|A^{-1}]の形に変形します。
まず、拡大行列 [A∣I][A|I] を作ります。
[A∣I]=[151∣1005244∣010152∣001][A|I] = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 24 & 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
次に、以下の手順で掃き出しを行います。
* 2行目を 2行目 - 5 * 1行目 で置き換えます。
[151∣1000−1−1∣−510152∣001]\begin{bmatrix} 1 & 5 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & -5 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
* 3行目を 3行目 - 1 * 1行目 で置き換えます。
[151∣1000−1−1∣−510001∣−101]\begin{bmatrix} 1 & 5 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & -5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
* 2行目を -1倍します。
[151∣100011∣5−10001∣−101]\begin{bmatrix} 1 & 5 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 5 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
* 1行目を 1行目 - 5 * 2行目 で置き換えます。
[10−4∣−2450011∣5−10001∣−101]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -4 & | & -24 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 5 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
* 1行目を 1行目 + 4 * 3行目 で置き換えます。
[100∣−2854011∣5−10001∣−101]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -28 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & | & 5 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
* 2行目を 2行目 - 1 * 3行目 で置き換えます。
[100∣−2854010∣6−1−1001∣−101]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -28 & 5 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & | & 6 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}
これにより、逆行列 A−1A^{-1} が求まりました。

3. 最終的な答え

A−1=[−28546−1−1−101]A^{-1} = \begin{bmatrix} -28 & 5 & 4 \\ 6 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

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