次の3つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^4 + x^2 + 1$ (2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 15$ (3) $x^4 + 64$

1. 問題の内容

次の3つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^4 + x^2 + 1$

(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 15$

(3) $x^4 + 64$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + x^2 + 1$ の因数分解

$x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$ と変形します。

これは $(x^2 + 1)^2 - x^2$ となります。

これは平方の差なので、$(x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x)$ と因数分解できます。

整理して、$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$となります。

(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 15$ の因数分解

$(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) - 15$ と並び替えます。

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 15$ となります。

$A = x^2 + 5x$ と置くと、$(A+4)(A+6) - 15$となります。

$A^2 + 10A + 24 - 15 = A^2 + 10A + 9$ となります。

$(A+1)(A+9)$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、$(x^2 + 5x + 1)(x^2 + 5x + 9)$ となります。

(3) $x^4 + 64$ の因数分解

$x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2$ と変形します。

これは $(x^2 + 8)^2 - (4x)^2$ となります。

平方の差なので、$(x^2 + 8 + 4x)(x^2 + 8 - 4x)$ と因数分解できます。

整理して、$(x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

(2) $(x^2 + 5x + 1)(x^2 + 5x + 9)$

(3) $(x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)$