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与えられた6つの連立一次方程式について、解が存在するかどうか、また存在する場合は解を求め、パラメータ表示を行います。

代数学連立一次方程式線形代数方程式の解法パラメータ表示
2025/6/13
以下に、与えられた連立一次方程式の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた6つの連立一次方程式について、解が存在するかどうか、また存在する場合は解を求め、パラメータ表示を行います。

2. 解き方の手順

(1)
```
-x1 - x2 + 2x3 = -1
-x1 - 3x2 + 4x3 = 3
x1 + 2x2 - 3x3 = -1
```
1行目と2行目の差を計算すると 2x2−2x3=−42x_2 - 2x_3 = -4 となり、x2−x3=−2x_2 - x_3 = -2 が得られます。
1行目と3行目を足すと x2−x3=−2x_2 - x_3 = -2 が得られます。
2行目と3行目を足すと −x2+x3=2-x_2 + x_3 = 2　が得られ、x2−x3=−2x_2-x_3=-2　が得られます。
x3=x2+2x_3 = x_2 + 2 を最初の式に代入すると、−x1−x2+2(x2+2)=−1-x_1 - x_2 + 2(x_2 + 2) = -1 となり、−x1+x2+4=−1-x_1 + x_2 + 4 = -1　より、x1=x2+5x_1 = x_2 + 5 となります。
解は x1=x2+5,x3=x2+2x_1 = x_2 + 5, x_3 = x_2 + 2 となり、パラメータはx2x_2です。
(2)
```
x1 + x2 - x3 = 1
-2x1 + x2 + 3x3 = 6
-x1 + x2 + 2x3 = 4
```
1行目の2倍を2行目に足すと、3x2+x3=83x_2 + x_3 = 8となります。
1行目を3行目に足すと、2x2+x3=52x_2 + x_3 = 5 となります。
これらの差を取ると、x2=3x_2 = 3 となります。
すると、x3=5−2x2=5−6=−1x_3 = 5 - 2x_2 = 5 - 6 = -1となります。
x1=1−x2+x3=1−3−1=−3x_1 = 1 - x_2 + x_3 = 1 - 3 - 1 = -3
解は x1=−3,x2=3,x3=−1x_1 = -3, x_2 = 3, x_3 = -1
(3)
```
-3x1 - 3x2 - 9x3 = -9
-x1 - x2 - 3x3 = -3
2x1 + 2x2 + 6x3 = 6
```
すべての式を3で割ると、
```
-x1 - x2 - 3x3 = -3
-x1 - x2 - 3x3 = -3
2x1 + 2x2 + 6x3 = 6
```
3行目の式を2で割ると、 −x1−x2−3x3=−3-x_1 - x_2 - 3x_3 = -3
より、全ての式は同一の式である。
x1=−x2−3x3+3x_1 = -x_2 - 3x_3 + 3となる。
パラメータ表示ではx2,x3x_2,x_3がパラメータとなる。
(4)
```
-3x1 + 6x2 + x3 = 6
-3x1 + 6x2 + 2x3 = 7
x1 - 2x2 - x3 = -3
```
1行目から2行目を引くと、−x3=−1-x_3 = -1より、x3=1x_3 = 1 となります。
x3=1x_3 = 1を3行目に代入すると、x1−2x2−1=−3x_1 - 2x_2 - 1 = -3 より x1=2x2−2x_1 = 2x_2 - 2　
x3=1x_3 = 1、x1=2x2−2x_1 = 2x_2 - 2を1行目に代入すると、
−3(2x2−2)+6x2+1=6-3(2x_2 - 2) + 6x_2 + 1 = 6
−6x2+6+6x2+1=6-6x_2 + 6 + 6x_2 + 1 = 6
7=67 = 6となり、矛盾が生じるため解なし。
(5)
```
2x2 + 2x3 - 10x4 = -3
x2 + 2x3 - 7x4 = -4
x2 + x3 - 5x4 = -2
```
2行目の2倍から1行目を引くと、2x3−4x4=−52x_3 - 4x_4 = -5
3行目の2倍から1行目を引くと、2x3=−12x_3 = -1
x3=−1/2x_3 = -1/2
2(−1/2)−4x4=−52(-1/2) - 4x_4 = -5より、−1−4x4=−5-1 - 4x_4 = -5、−4x4=−4-4x_4 = -4なので、x4=1x_4 = 1
x2+2(−1/2)−7(1)=−4x_2 + 2(-1/2) - 7(1) = -4より、x2−1−7=−4x_2 - 1 - 7 = -4、x2=4x_2 = 4
解は x2=4,x3=−1/2,x4=1x_2 = 4, x_3 = -1/2, x_4 = 1
(6)
```
2x1 - x2 - x3 + 6x4 = 0
x1 - x2 - x3 + 6x4 = 1
3x1 - 2x2 - 3x3 + 15x4 = 2
```
1行目から2行目を引くと、x1=−1x_1 = -1
2(−1)−x2−x3+6x4=02(-1) - x_2 - x_3 + 6x_4 = 0
−2−x2−x3+6x4=0-2 - x_2 - x_3 + 6x_4 = 0
3(−1)−2x2−3x3+15x4=23(-1) - 2x_2 - 3x_3 + 15x_4 = 2
−3−2x2−3x3+15x4=2-3 - 2x_2 - 3x_3 + 15x_4 = 2
```
- x2 - x3 + 6x4 = 2
- 2x2 - 3x3 + 15x4 = 5
```
1式を2倍して2式から引くと、−x3+3x4=1-x_3 + 3x_4 = 1
x3=3x4−1x_3 = 3x_4 - 1
−x2−(3x4−1)+6x4=2-x_2 - (3x_4 - 1) + 6x_4 = 2
−x2+3x4+1=2-x_2 + 3x_4 + 1 = 2
x2=3x4−1x_2 = 3x_4 - 1
解は x1=−1,x2=3x4−1,x3=3x4−1x_1 = -1, x_2 = 3x_4 - 1, x_3 = 3x_4 - 1
パラメータ表示ではx4x_4がパラメータとなる。

3. 最終的な答え

(1) x1=x2+5,x3=x2+2x_1 = x_2 + 5, x_3 = x_2 + 2 (パラメータはx2x_2)
(2) x1=−3,x2=3,x3=−1x_1 = -3, x_2 = 3, x_3 = -1
(3) x1=−x2−3x3+3x_1 = -x_2 - 3x_3 + 3 (パラメータはx2,x3x_2, x_3)
(4) 解なし
(5) x2=4,x3=−1/2,x4=1x_2 = 4, x_3 = -1/2, x_4 = 1
(6) x1=−1,x2=3x4−1,x3=3x4−1x_1 = -1, x_2 = 3x_4 - 1, x_3 = 3x_4 - 1 (パラメータはx4x_4)

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