与えられた6つの式を展開する問題です。 (1) $2x^2(x^2-3x+1)$ (2) $(4a-5b)(4a+5b)$ (3) $(x+5)(x-3)$ (4) $(2x-3y-z)^2$ (5) $(3x-2y)^3$ (6) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を展開する問題です。

(1) $2x^2(x^2-3x+1)$

(2) $(4a-5b)(4a+5b)$

(3) $(x+5)(x-3)$

(4) $(2x-3y-z)^2$

(5) $(3x-2y)^3$

(6) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

2. 解き方の手順

(1) 分配法則を用いて展開します。

$2x^2(x^2-3x+1) = 2x^4 - 6x^3 + 2x^2$

(2) 和と差の積の公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を用いて展開します。

$(4a-5b)(4a+5b) = (4a)^2 - (5b)^2 = 16a^2 - 25b^2$

(3) $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ の公式を用いて展開します。

$(x+5)(x-3) = x^2 + (5-3)x + (5)(-3) = x^2 + 2x - 15$

(4) $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ の公式を用いて展開します。

$(2x-3y-z)^2 = (2x)^2 + (-3y)^2 + (-z)^2 + 2(2x)(-3y) + 2(-3y)(-z) + 2(-z)(2x)$

$= 4x^2 + 9y^2 + z^2 - 12xy + 6yz - 4zx$

(5) $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ の公式を用いて展開します。

$(3x-2y)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2(2y) + 3(3x)(2y)^2 - (2y)^3$

$= 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3$

(6) まず、$(x-1)(x-4)$ と $(x-2)(x-3)$ をそれぞれ展開します。

$(x-1)(x-4) = x^2 - 5x + 4$

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$

次に、$(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6)$ を展開します。$X = x^2 - 5x$ と置換すると、

$(X+4)(X+6) = X^2 + 10X + 24$

$= (x^2-5x)^2 + 10(x^2-5x) + 24$

$= x^4 - 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 - 50x + 24$

$= x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

3. 最終的な答え

(1) $2x^4 - 6x^3 + 2x^2$

(2) $16a^2 - 25b^2$

(3) $x^2 + 2x - 15$

(4) $4x^2 + 9y^2 + z^2 - 12xy + 6yz - 4zx$

(5) $27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3$

(6) $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$