問題は4つあります。 (1) $\sqrt{(-4)^2}$ の値を求める。 (2) $\frac{2}{3\sqrt{2}}$ の分母を有理化する。 (3) $\sqrt{9 + \sqrt{56}}$ を簡単に変形する。 (4) $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数部分を求める。

1. 問題の内容

問題は4つあります。

(1) $\sqrt{(-4)^2}$ の値を求める。

(2) $\frac{2}{3\sqrt{2}}$ の分母を有理化する。

(3) $\sqrt{9 + \sqrt{56}}$ を簡単に変形する。

(4) $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数部分を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{(-4)^2}$ の計算：

まず、$(-4)^2$を計算します。

$(-4)^2 = 16$

次に、$\sqrt{16}$を計算します。

$\sqrt{16} = 4$

(2) $\frac{2}{3\sqrt{2}}$ の分母の有理化：

分母と分子に$\sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2 \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{6}$

約分して、

$\frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

(3) $\sqrt{9 + \sqrt{56}}$ の簡略化：

$\sqrt{9 + \sqrt{56}}$を$\sqrt{a} + \sqrt{b}$の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 9 + \sqrt{56}$

$a + b = 9$

$4ab = 56$ よって $ab = 14$

$a + b = 9$ と $ab = 14$ を満たす$a$と$b$を探します。$a = 2, b = 7$ もしくは $a = 7, b = 2$ が当てはまります。

よって、$\sqrt{9 + \sqrt{56}} = \sqrt{2} + \sqrt{7}$

(4) $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ の整数部分を求める：

分母を有理化します。分母と分子に$2 + \sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1 \times (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3}) \times (2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

$\sqrt{3}$ は $1 < \sqrt{3} < 2$ なので、

$2 + 1 < 2 + \sqrt{3} < 2 + 2$

$3 < 2 + \sqrt{3} < 4$

よって整数部分は3です。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) $\frac{\sqrt{2}}{3}$

(3) $\sqrt{2} + \sqrt{7}$

(4) 3